【题目】定义一：对于一个函数，若存在两条距离为的直线和，使得时，恒成立，则称函数在内有一个宽度为的通道.

定义二：若一个函数对于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道，则称在正无穷处有永恒通道.

下列函数①；②；③；④；⑤. 其中在正无穷处有永恒通道的函数序号是 .

【题目】已知函数。

（1）若是曲线的切线,求的值；

（2）若,求的取值范围.

【题目】对于任意，若数列满足，则称这个数列为“K数列”.

（1）已知数列：，，是“K数列”，求实数的取值范围；

（2）设等差数列的前项和为，当首项与公差满足什么条件时，数列是“K数列”？

（3）设数列的前项和为，，且，. 设，是否存在实数，使得数列为“K数列”. 若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

【题目】已知函数

（1）当时，求函数的极值；

（2）求的单调区间.

【题目】给定函数和，若存在常数，，使得函数和对其公共定义域的任何实数分别满足和，则称直线：为函数和的“隔离直线”，给出下列四组函数：

（1），； （2），；

（3），； （4），；

其中函数和存在“隔离直线”的序号是（ ）

A.（1）（3）B.（1）（3）（4）C.（1）（2）（3）D.（2）（4）

【题目】已知函数，.

(1)讨论函数的零点个数；

(2)求证：.

其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现。在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个元，二级滤芯每个元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个元，二级滤芯每个元。现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.

二级滤芯更换频数分布表

以个一级过滤器更换滤芯的频率代替个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以个二级过滤器更换滤芯的频率代替个二级过滤器更换滤芯发生的概率.

（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为的概率；

（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求的分布列及数学期望；

（3）记，分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定，的值.

【题目】已知函数,且图象的两相邻对称轴间的距离为.

(1)求的值；

(2)求方程在上的解的集合；

(3)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，求的取值范围.

【题目】已知圆：，点，直线.

(1)求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；

（2）在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上的任一点，都有为一常数，试求出所有满足条件的点的坐标.

【题目】设复平面上点对应的复数 （为虚数单位）满足，点的轨迹方程为曲线. 双曲线:与曲线有共同焦点，倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线的交点是、，，为坐标原点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）求直线的方程；

（3）设△PQR三个顶点在曲线上，求证：当是△PQR重心时，△PQR的面积是定值.