64.(2009年江西)25．如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.

(1)求点到的距离；

(2)点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.

①当点在线段上时(如图2)，的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；

②当点在线段上时(如图3)，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.

(2009年江西25题解析)(1)如图1，过点作于点　　　 1分

∵为的中点，

∴

在中，∴············· 2分

∴

即点到的距离为··········································· 3分

(2)①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．

∵∴

∵∴，

同理······························································································· 4分

如图2，过点作于，∵

∴

∴

∴

则

在中，

∴的周长=············································· 6分

②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．

当时，如图3，作于，则

类似①，

∴································································································ 7分

∵是等边三角形，∴

此时，········································· 8分

　　 当时，如图4，这时

此时，

当时，如图5，

则又

∴

因此点与重合，为直角三角形．

∴

此时，

综上所述，当或4或时，为等腰三角形．························ 10分

63.(2009年山东德州)23． (本题满分10分)

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

(1)求证：EG=CG；

(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 　　　

(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)

(2009年山东德州23题解析)解：(1)证明：在Rt△FCD中，

∵G为DF的中点，∴ CG=FD．………… 1分

同理，在Rt△DEF中，　　

EG=FD．　 ………………2分

∴ CG=EG．…………………3分

(2)(1)中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．………………………5分

在△DMG与△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴ △DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

　 在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分

在Rt△AMG 与Rt△ENG中，

∵ AM=EN， MG=NG，

∴ △AMG≌△ENG．

∴ AG=EG．

∴ EG=CG．　 ……………………………8分

证法二：延长CG至M,使MG=CG，

连接MF，ME，EC， ……………………4分

在△DCG 与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG ≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．　

∴MF∥CD∥AB．………………………5分

∴．

在Rt△MFE 与Rt△CBE中，

∵ MF=CB，EF=BE，

∴△MFE ≌△CBE．

∴．…………………………………………………6分

∴∠MEC＝∠MEF+∠FEC＝∠CEB+∠CEF＝90°．　 …………7分

∴ △MEC为直角三角形．

∵ MG = CG，

∴ EG=MC．

∴ ．………………………………8分

(3)(1)中的结论仍然成立，

即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分

62.(2009年江苏)28．(本题满分12分)如图，已知射线DE与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为秒．

(1)请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标；

(2)以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，连接PA、PB．

①当与射线DE有公共点时，求的取值范围；

②当为等腰三角形时，求的值．

(2009年江苏28题解析)解：(1)，．······················· (2分)

(2)①当的圆心由点向左运动，使点到点并随继续向左运动时，

有，即．

当点在点左侧时，过点作射线，垂足为，则由，

得，则．解得．

由，即，解得．

当与射线有公共点时，的取值范围为．··························· (5分)

②当时，过作轴，垂足为，有

．

，即．

解得．····································· (7分)

当时，有，

．解得．·························· (9分)

当时，有

．

，即．

解得(不合题意，舍去)．························································· (11分)

当是等腰三角形时，，或，或，或．··············· (12分)

61.(09年吉林)28．如图所示，菱形的边长为6厘米，．从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分的面积为平方厘米(这里规定：点和线段是面积为的三角形)，解答下列问题：

(1)点、从出发到相遇所用时间是　　　　 秒；

(2)点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是　　　　 秒；

(3)求与之间的函数关系式．

(09年吉林28题解析)解：(1)6．···································································· (1分)

(2)8．················································································································ (3分)

(3)①当0时，

． ··································· (5分)

②当3时，

=·································································································· (7分)

③当时，设与交于点．

(解法一)

过作则为等边三角形．

．

．··············································································· (10分)

(解法二)

如右图，过点作于点，，于点

过点作交延长线于点．

又

又

·················································································· (10分)

75.(2009年山西太原)29．(本小题满分12分)

问题解决

如图(1)，将正方形纸片折叠，使点落在边上一点(不与点，重合)，压平后得到折痕．当时，求的值．

类比归纳

在图(1)中，若则的值等于　　 　　；若则的值等于　　 　　；若(为整数)，则的值等于　　 　　．(用含的式子表示)

联系拓广

　 如图(2)，将矩形纸片折叠，使点落在边上一点(不与点重合)，压平后得到折痕设则的值等于　　 　　．(用含的式子表示)

(2009年山西太原29题解析)解：方法一：如图(1-1)，连接．

　　　 由题设，得四边形和四边形关于直线对称．

　　　 ∴垂直平分．∴··········································· 1分

　　　 ∵四边形是正方形，∴

　　　 ∵设则

　　　　 在中，．

　　　 ∴解得，即················································ 3分

　　　 在和在中，

，

，

······································································· 5分

　　　 设则∴

　　　 解得即················································································· 6分

　　　 ∴··································································································· 7分

　　　 方法二：同方法一，········································································· 3分

　　　 如图(1－2)，过点做交于点，连接

∵∴四边形是平行四边形．

　　　 ∴

　　　 同理，四边形也是平行四边形．∴

　　∵

　　在与中

　　∴····························· 5分

∵······························································ 6分

∴································································································· 7分

类比归纳

(或)；； ··········································································· 10分

联系拓广

···································································································· 12分

74.(2009年山东德州)23． (本题满分10分)

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

(1)求证：EG=CG；

(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 　　　

(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)

(2009年山东德州23题解析)解：(1)证明：在Rt△FCD中，

∵G为DF的中点，∴ CG=FD．………… 1分

同理，在Rt△DEF中，　　

EG=FD．　 ………………2分

∴ CG=EG．…………………3分

(2)(1)中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．………………………5分

在△DMG与△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴ △DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

　 在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分

在Rt△AMG 与Rt△ENG中，

∵ AM=EN， MG=NG，

∴ △AMG≌△ENG．

∴ AG=EG．

∴ EG=CG．　 ……………………………8分

证法二：延长CG至M,使MG=CG，

连接MF，ME，EC， ……………………4分

在△DCG 与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG ≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．　

∴MF∥CD∥AB．………………………5分

∴．

在Rt△MFE 与Rt△CBE中，

∵ MF=CB，EF=BE，

∴△MFE ≌△CBE．

∴．…………………………………………………6分

∴∠MEC＝∠MEF+∠FEC＝∠CEB+∠CEF＝90°．　 …………7分

∴ △MEC为直角三角形．

∵ MG = CG，

∴ EG=MC．

∴ ．………………………………8分

(3)(1)中的结论仍然成立，

即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分

73.(2009年山西)26．(本题14分)如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．

　　 (1)求的面积；

(2)求矩形的边与的长；

(3)若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．

(2009年山西26题解析)(1)解：由得点坐标为

由得点坐标为

∴··················································································· (2分)

由解得∴点的坐标为···································· (3分)

∴··························································· (4分)

　 (2)解：∵点在上且

　　　　　　 ∴点坐标为······················································································ (5分)

又∵点在上且

∴点坐标为······················································································ (6分)

∴··········································································· (7分)

　 (3)解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形(时，为四边形)．过作于，则

∴即∴

∴

即··································································· (10分)

96.(2009年仙桃市、天门市、潜江市、江汉油田)(本题暂无答案)25．(本题满分12分)如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．

(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；

(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？

(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？

95.(2009年天津)26．(本小题10分)

已知函数为方程的两个根，点在函数的图象上．

(Ⅰ)若，求函数的解析式；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值；

(Ⅲ)若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由．

(2009年天津26题解析)本小题满分10分.

解(Ⅰ)，

.··························································································· 1分

将分别代入，得

，

解得.

函数的解析式为．······························································· 3分

(Ⅱ)由已知，得，设的高为，

，即.

根据题意，，

由，得.

当时，解得；

当时，解得.

的值为.··············································································· 6分

(Ⅲ)由已知，得

.

，

，

，化简得.

，得，　　　.

有.

又，，，

当时，；

当时，；

当时，.························································································· 10分

94.(2009年新疆维吾尔自治区)24．(12分)某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程(单位：千米)与所用时间(单位：小时)的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时．

(1)请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程(千米)与所用时间(小时)的函数图象．

(2)求两车在途中相遇的次数(直接写出答案)

(3)求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．

(2009年新疆维吾尔自治区24题解析)24．(12分)解：(1)如图···················· (3分)

(2)2次··············································································································· (5分)

(3)如图，设直线的解析式为，

图象过，

．①································································································ (7分)

设直线的解析式为，

图象过，

．②·························································································· (7分)

解由①、②组成的方程组得

最后一次相遇时距离乌鲁木齐市的距离为112.5千米．······································ (12分)