108.(2009年浙江舟山)24. (本题12分)如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上．

　(1)　求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

　(2)　平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．

①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；

②　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

(2009年浙江舟山24题解析)解：(1) 将点A(-4，8)的坐标代入，解得．　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，

则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)．　　　　　 　　 　……1分

直线AP的解析式是．　　　　　　　　 　　　　　　 　……1分

令y=0，得．即所求点Q的坐标是(，0)．　　　　 　……1分

(2)①　解法1：CQ=︱-2-︱=，　　　　　 　……1分

故将抛物线向左平移个单位时，A′C+CB′最短，

……2分

此时抛物线的函数解析式为．　　　　　　　　 ……1分

解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)．

直线A′′B′的解析式为．　　　　　　　　 　　　　　……1分

要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得．　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为．　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

②　左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．……1分

第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．

因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，

要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．　　 　……1分

点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，

直线A′′B′′的解析式为．要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得．

故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　……1分

107.(2009年浙江义乌)24．已知点A、B分别是轴、轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如图，正方形ABCD是一次函数图像的其中一个伴侣正方形。

(1)若某函数是一次函数，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；

(2)若某函数是反比例函数，他的图像的伴侣正方形为ABCD，点D(2，m)(m <2)在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式；

(3)若某函数是二次函数，它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为(3，4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？。(本小题只需直接写出答案)

(2009年浙江义乌24题解析)解：(1)如图1，当点在轴正半轴，点在轴负半轴上时，正方形的边长为；······································································· 1分

当点在轴负半轴、点在轴正半轴上时，

设正方形的边长为，

易得．························································ 2分

解得，所以正方形边长为．················· 3分

(2)如图2，作分别垂直于轴，

易知．························ 1分

此时，，，

，

，

点坐标为，····························································································· 2分

解得．······················································································· 3分

反比例函数的解析式为．···················································································· 4分

(3)；；；．···································································· 3分

(写对1个1分，2个或3个2分，4个3分)

对应的抛物线分别为；；

；．················································································ 4分

所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．···························································· 5分

106.(2009年浙江台州)24．如图，已知直线　　　　交坐标轴于两点，以线段为边向上作

正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为．

(1)请直接写出点的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；

(4)在(3)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积．

(2009年浙江台州24题解析)(1)；…………………………………………………2分

　 (2)设抛物线为，抛物线过，

　 解得…………………………………………………2分

∴．……………………………………………………………1分

(3)①当点A运动到点F时，

当时，如图1，

　　 ∵，

∴∴

∴；……2分

　 　②当点运动到轴上时，，

当时，如图2，

∴∴，

∵，

∴

；…………(2分)

③当点运动到轴上时，，

当时，如图3，

∵，

∴，

∵，

∽

∴，

∴，

∴

　　　　　 =．………(2分)

(解法不同的按踩分点给分)

(4)∵,,

∴　………………………………………………(2分)

　　　　　 =

　　　　　 =．……………………………………………………………(1分)

105.(2009年浙江嵊州)14．△与△是两个直角边都等于厘米的等腰直角三角形，M、N分别是直角边AC、BC的中点。△位置固定，△按如图叠放，使斜边在直线MN上,顶点与点M重合。等腰直角△以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移，直到点与点N重合。设秒时，△与△重叠部分面积为平方厘米。

(1)当△与△重叠部分面积为平方厘米时，求△移动的时间；

(2)求与的函数关系式；

(3)求△与△重叠部分面积的最大值。

(2009年浙江嵊州14题解析)(1)解 ①如图1，当在△ABC内时，重叠部分是平行四边形,由题意得：

　　　　 　解得x=……(2分)

　 ②如图3，当在△ABC内时，重叠部分是平行四边形,由题意得：

　　　　　 N=　　 列式得()×=

解得x=……(2分)

综上所述，当△与△重叠部分面积 为平方厘米时，△移动的时间为或()秒。

		图1
	图1

(2)　 ①如图1，当0≤x≤时　 ……(1分)

②如图2，当≤x≤时，如图，△DN, △,△是等腰直角三角形，　

N＝，GF=MN=,

即…(3分)

③如图3，当≤x≤时，…(1分)

(3)①当0≤x≤时，　　 ……(1分)

②当≤x≤时，　 ……(2分)

③当≤x≤时，　 ……(1分)

所以，△与△重叠部分面积的最大值为5。

104.(2009年浙江衢州)24. (本题14分)如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线

　(1)　求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

　(2)　平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．

①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；

②　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

(2009年浙江衢州24题解析)解：(1) 将点A(-4，8)的坐标代入，解得．　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，

　　　　　　　　　……1分

则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)．　　　　　　　　 　……1分

直线AP的解析式是．　　　　　　　　　　　　　　　 　……1分

令y=0，得．即所求点Q的坐标是(，0)．　　　　 　……1分

(2)①　解法1：CQ=︱-2-︱=，　　　　　 　……1分

故将抛物线向左平移个单位时，A′C+CB′最短，

……2分

此时抛物线的函数解析式为．　　　　　　　　 ……1分

解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)．

直线A′′B′的解析式为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得．　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为．　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

②　左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．

……1分

第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．

因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，

要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．　　 ……1分

点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，

直线A′′B′′的解析式为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得．

故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

103.(2009年浙江宁波)26．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(－8，0)，直线BC经过点B(－8，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时声母OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．

(1)四边形的形状是　　　　　 ，

当α=90°时，的值是　　　　　 ．

(2)①如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时,求的值;

②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求ΔOPB′的面积．

(3)在四边形OABC旋转过程中,当时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=？若存在，请直接写出点P的坐标；基不存在，请说明理由．

(2009年浙江宁波26题解析)解：(1)矩形(长方形)；··········································· 1分

．···················································································································· 3分

(2)①，，

．

，即，

，．··············································································· 4分

同理，

，即，

，．·············································································· 5分

．·············································································································· 6分

②在和中，

．······················································································ 7分

．

设，

在中， ，解得．·················································· 8分

．······················································································· 9分

(3)存在这样的点和点，使．························································· 10分

点的坐标是，．·························································· 12分

对于第(3)题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．

过点画于，连结，则，

，，

．

设，

，

，

①　　 如图1，当点P在点B左侧时，

，

在中，，

解得，(不符实际，舍去)．

，

．

②如图2，当点P在点B右侧时，

，．

在中，，解得．

，

．

综上可知，存在点，，使．

102.(2009年浙江丽水)24. 已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.

(1)填空：菱形ABCD的边长是 　▲ 　、面积是 　▲ 　、

高BE的长是　 ▲ 　；

(2)探究下列问题：

①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；

②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k

个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得

△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边

形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.

(2009年浙江丽水24题解析)解：(1)5　 , 24, …………………………………3分

(2)①由题意，得AP=t，AQ=10-2t.　 　…………………………………………1分

如图1,过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得　　

△AQG∽△ABE,∴,

∴QG=, …………………………1分

∴(≤t≤5).

……1分

∵(≤t≤5).

∴当t=时，S最大值为6.…………………1分

② 要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组

成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可.

当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP=.………………1分

以下分两种情况讨论:

第一种情况：当点Q在CB上时, ∵PQ≥BE>PA，∴只存在点Q₁,使Q₁A=Q₁P.

如图2,过点Q₁作Q₁M⊥AP，垂足为点M，Q₁M交AC于点

F,则AM=.由△AMF∽△AOD∽△CQ₁F,得

, ∴,

∴. ………………1分

∴CQ₁==.则, ∴ .……………………………1分

第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q₂,Q₃,

分别使A P= A Q₂,PA=PQ₃.

①若AP=AQ₂，如图3,CB+BQ₂=10-4=6.

则,∴.……1分　

②若PA=PQ₃，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N，

由△ANP∽△AEB,得.

∵AE= , ∴AN＝.

∴AQ₃=2AN=, 　∴BC+BQ₃=10-

则.∴.

………………………1分

综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ

沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或.

101.(2009年浙江嘉兴)24．如图，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．

(1)求x的取值范围；

(2)若△ABC为直角三角形，求x的值；

(3)探究：△ABC的最大面积？

(2009年浙江嘉兴24题解析)(1)在△ABC中，∵，，．

∴，解得．　··············································································· 4分

(2)①若AC为斜边，则，即，无解．

②若AB为斜边，则，解得，满足．

③若BC为斜边，则，解得，满足．

∴或．　····································································································· 9分

(3)在△ABC中，作于D，

设，△ABC的面积为S，则．

①若点D在线段AB上，

则．

∴，即．

∴，即．

∴()．　······························ 11分

当时(满足)，取最大值，从而S取最大值．······················ 13分

②若点D在线段MA上，

则．

同理可得，

()，

易知此时．

综合①②得，△ABC的最大面积为．····································································· 14分

100.(2009年浙江湖州)已知抛物线()与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.

(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；

(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；

(3)在抛物线()上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.

(2009年浙江湖州24题解析)

(1).……………4分

(2)由题意得点与点′关于轴对称，，

将′的坐标代入得，

(不合题意，舍去)，.……………2分

，点到轴的距离为3.

， ，直线的解析式为，

它与轴的交点为点到轴的距离为.

.……………2分

(3)当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，

把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，

得：

(不舍题意，舍去)，，

.……………2分

当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，

．

与关于原点对称，，

将点坐标代入抛物线解析式得：，

(不合题意，舍去)，，．……………2分

存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．

98.(2009年云南)23．(本小题14分)已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为、，点D的坐标为，点P是直线AC上的一动点，直线DP与轴交于点M．问：

(1)当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP的函数解析式；

(2)当点P沿直线AC移动时，是否存在使与相似的点M，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R(R＞0)画圆，所得到的圆称为动圆P．若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E、F．请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S，若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．

注：第(3)问请用备用图解答．

(2009年云南23题解析)解：(1)连结与交于点，则当点运动到点时，直线平分矩形的面积．理由如下：

　∵矩形是中心对称图形，且点为矩形的对称中心．

　又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线过矩形的对称中心点，所以直线平分矩形的面积．…………2分

　由已知可得此时点的坐标为．

　设直线的函数解析式为．

则有　解得，．

所以，直线的函数解析式为：．··················································· 5分

(2)存在点使得与相似．

如图，不妨设直线与轴的正半轴交于点．

因为，若△DOM与△ABC相似，则有或．

当时，即，解得．所以点满足条件．

当时，即，解得．所以点满足条件．

由对称性知，点也满足条件．

综上所述，满足使与相似的点有3个，分别为、、．　　　 9分

(3)如图 ，过D作DP⊥AC于点P，以P为圆心，半径长为画圆，过点D分别作的切线DE、DF，点E、F是切点．除P点外在直线AC上任取一点P₁，半径长为画圆，过点D分别作的切线DE₁、DF₁，点E₁、F₁是切点．

在△DEP和△DFP中，∠PED＝∠PFD，PF＝PE，PD＝PD，

∴△DPE≌△DPF．

∴S_{四边形DEPF}＝2S_△DPE＝2×．

∴当DE取最小值时，S_{四边形DEPF}的值最小．

∵，，

∴．

∵，∴．

∴．由点的任意性知：DE是

点与切点所连线段长的最小值．……12分

在△ADP与△AOC中，∠DPA＝∠AOC，

∠DAP＝∠CAO，　 ∴△ADP∽△AOC．

∴，即．∴．

∴．

∴S_{四边形DEPF}＝，即S＝．····································································· 14分

(注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．)

99(2009年浙江杭州)24. (本小题满分12分)

已知平行于x轴的直线与函数和函数的图象分别交于点A和点B，又有定点P(2，0) .

(1)若，且tan∠POB=，求线段AB的长；

(2)在过A，B两点且顶点在直线上的抛物线中，已知线段AB=，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；

(3)已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到的图象，求点P到直线AB的距离 .

(2009年浙江杭州24题解析)(1)设第一象限内的点B(m,n)，则tan∠POB，得m=9n，又点B在函数　　　 的图象上，得，所以m=3(－3舍去)，点B为，

而AB∥x轴，所以点A(，)，所以；

(2)由条件可知所求抛物线开口向下，设点A(a , a)，B(，a)，则AB=－ a = ,

所以，解得 .

当a = －3时，点A(―3，―3)，B(―，―3)，因为顶点在y = x上，所以顶点为(－，－)，所以可设二次函数为，点A代入，解得k= －,所以所求函数解析式为 .

同理，当a = 时，所求函数解析式为；

(3)设A(a , a)，B(，a)，由条件可知抛物线的对称轴为 .

设所求二次函数解析式为： .

点A(a , a)代入，解得，，所以点P到直线AB的距离为3或