3.学完“百家争鸣”有关历史后，几个同学在一起讨论本班科任老师的教学管理风格，其中借用史实评论不太恰当的是

A.小刘：数学老师是法家的弟子，学期初他就制定班规，并严格执行

B.小张：历史老师关爱学生，教育我们要和谐相处，有儒家风范

C.小汪：语文老师给我们充分的主动权，极少干预，深得老子的真传

D.小徐：政治老师很会摆架子，特别注意师道尊严，这是墨子的做法

2．古书说：“国之大事，在祀在戎”。从下面的几幅青铜器皿图片可以看出，当时我国的青铜器主要属于：

A．农具和酒器　　 B．礼器和兵器　　 C．礼器和用具　　 D．兵器和农具

1．《史记•秦始皇本纪》载：秦始皇二十六年(前 221)下令“更名民曰黔首”。秦始皇三十一年(前227)下令“使黔首自实田”。黔首之称，在战国时已经广泛使用，含义与当时常见的“民”、“庶民”相同。下列选项中同属于对百姓称呼的是①黎庶　 ②苍生　 ③优伶　 ④氓 　　 A.①②④　　　 B.②③④　　　 C.①③④　　　 D.①②③④

9. 形如(其中p,r为常数)型

(1)p>0，　 用对数法.

例1.　 设正项数列满足，(n≥2).求数列的通项公式.

解：两边取对数得：，，设，则　　　　 是以2为公比的等比数列，　 ，，，∴

练习 数列中，，(n≥2)，求数列的通项公式.　　　　　　　　　　　 答案：

(2)p<0时　 用迭代法.

例1.(2005江西卷)

已知数列，

(1)证明　 (2)求数列的通项公式a_n.

解：(1)略

(2)

所以　

又b_n=－1，所以.

方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.

解法3：设c，则c,转化为上面类型(1)来解.

8.形如(其中p,q为常数)型

(1)当p+q=1时　　 用转化法

例1.数列中，若,且满足,求.

解：把变形为.

则数列是以为首项，3为公比的等比数列，则

　　 利用类型6的方法可得　 .

(2)当时　 用待定系数法.

例2. 已知数列满足，且,且满足,求.

解：令,即,与已知

比较，则有,故或

下面我们取其中一组来运算，即有,

则数列是以为首项，3为公比的等比数列，故

,即,利用类型　 的方法，可得

.

评注：形如的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程的二根为,设,再利用的值求得p,q的值即可.

2.形如型

方法：不动点法:

我们设,由方程求得二根x,y,由有

同理,两式相除有,从而得,再解出即可.

例1. 设数列{a_n}满足,求{a_n}的通项公式.

分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.

解：对等式两端同时加参数t,得：

,

令,　 解之得t=1,-2　　 代入得

,,

相除得,即{}是首项为，

公比为的等比数列, =,　 解得.

方法2：

，

两边取倒数得，

令b，则b,转化为类型5来求.

7.形如型

(1)即　　　　　 取倒数法.

例1. 已知数列中，，，求通项公式。

解：取倒数：

例2.(湖北卷)已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足

(Ⅰ)证明

分析：本题看似是不等式问题，实质就是求通项问题.

证：∵当

即　 于是有　

所有不等式两边相加可得　

由已知不等式知，当n≥3时有，

∵

评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项求和即可证得.

6.形如型

.(1)若(其中k,b是常数，且)

方法：相减法

例1.　　　　　 在数列中，求通项.

解：，　　　　　　　 ①

时，，

两式相减得

.令,则

利用类型5的方法知

即　 　　　　　　②

再由累加法可得.

亦可联立　 ①　 ②解出.

例2. 在数列中，,求通项.

解：原递推式可化为

比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为

所以是一个等比数列，首项,公比为.

　　 即：

故.

(2)若(其中q是常数，且n0,1)

①若p=1时，即：，累加即可.

②若时，即：，

求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.

即：　 ,令，则,

然后类型1，累加求通项.

ii.两边同除以 .　 即：　 ,

令,则可化为.然后转化为类型5来解，

iii.待定系数法：

设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.

例1.(2003天津理)

设为常数，且．

证明对任意≥1，；

证法1：两边同除以(-2),得

令,则

=

=

=

.

证法2：由得　 .

设，则b.　 即：,

所以是以为首项，为公比的等比数列.

则=,

即：,

故 .

评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.

证法3：用待定系数法

设,　 即:,

比较系数得：,所以 　　所以,

所以数列是公比为－2，首项为的等比数列.　

　 即 .

方法4：本题也可用数学归纳法证.

(i)当n=1时，由已知a₁=1－2a₀，等式成立；

　 ( ii)假设当n=k(k≥1)等式成立，则

　　 那么

　　 也就是说，当n=k+1时，等式也成立.　 根据(i)和(ii)，可知等式对任何n∈N，成立.

规律：　 类型共同的规律为：两边同除以，累加求和，只是求和的方法不同.

5．形如,其中)型

(1)若c=1时，数列{}为等差数列;

(2)若d=0时，数列{}为等比数列;

(3)若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

方法如下：设,

得,与题设比较系数得

,所以

所以有：

因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，

所以

即：.

规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式

有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例1．已知数列中，求通项.

分析：两边直接加上,构造新的等比数列。

解：由得,

所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列

所以,即　 .

方法二：由

时，

两式相减得

,

数列是以=为首项，以c为公比的等比数列.

=(　 .

方法三：迭代法

由 递推式

直接迭代得

==

=.

方法四：归纳、猜想、证明.

先计算出,再猜想出通项,最后用数学归纳法证明.

注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同.

4.形如型

(1)若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

(2)若f(n)为n的函数(非常数)时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.

例1. 已知数列,求此数列的通项公式.

注：同上例类似，略.