1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？(是)

例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？

　　　　 a　　　　 e　　　　 a　　　 e　　　　 a　　　　 e

　　　　 b　　　　 f　　　　 b　　　 f　　　　 b　　　　 f

　　　　 c　　　　 g　　　　 c　　　 g　　　 c　　　　 g

　　　　　　　　　　　　　 d　 　　　　　　　　　　　d

　　　　　 (是)　　　　　　 (不是)　　　　　 (是)

　　　 是映射的有对应法则，对应法则是用图形表示出来的

例2下列各组映射是否同一映射？

a　　　 e　　　　　　 a　　　 e　　　　　　 d　　　　 e

　　　 b　　　　 f　　　　　　 b　　　 f　　　　　　 b　　　　 f

　　　 c　　　　 g　 　　　　　c　　　 g　　　　　　 c　　　　 g

例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

(1)设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，

对应法则

　　 (2)设，对应法则

　　　　　 (3)，，

(4)设

　　　　 (5)，

　 设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集

说明：(2)(3)(4)这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中

的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应

映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合

A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，

这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫

做集合A到集合B的映射　 记作：

象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且，如

果元素和元素对应，则元素叫做元素的象，元素叫

做元素的原象

关键字词：(学生思考、讨论、回答，教师整理、强调)

①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；

②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；

③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；

④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.

指出：根据定义，(2)(3)(4)这三个对应都是集合A到集合B

的映射；注意到其中(2)(4)是一对一，(3)是多对一

思考：(1)为什么不是集合A到集合B的映射？

回答：对于(1)，在集合A中的每一个元素，在集合B中都

　　　　 有两个元素与之相对应，因此，(1)不是集合A到集

合B的映射

　　　　 　思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射?

　　　　　　　　 　一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射

辨析：

①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；

②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；

③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；

④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；

⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.

映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；

函数的概念

本节我们将学习一种特殊的对应-映射.

在初中我们已学过一些对应的例子：(学生思考、讨论、回答)

①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系

②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应

③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应

④任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应

2．如图，设抛物线方程为x²＝2py(p>0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

　 (1)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

　 (2)已知当M点的坐标为(2，－2p)时，|AB|＝4.求此时抛物线的方程；

　 解答：(1)证明：由题意设A(x₁，)，B(x₂，)，x₁<x₂，M(x₀，－2p)．

　 由x²＝2py得y＝，得y′＝，所以k_MA＝，k_MB＝.

　 因此直线MA的方程为y+2p＝(x－x₀)，直线MB的方程为y+2p＝(x－x₀)．

　 所以+2p＝(x₁－x₀)，①

　 +2p(x₂－x₀)．②

　 由①、②得＝x₁+x₂－x₀，因此x₀＝，即2x₀＝x₁+x₂.

　 所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．

　 (2)由(1)知，当x₀＝2时，将其代入①、②并整理得：x－4x₁－4p²＝0，x－4x₂－4p²＝0，

　 所以x₁，x₂是方程x²－4x－4p²＝0的两根，因此x₁+x₂＝4，x₁x₂＝－4p²，

　 又k_AB＝＝＝，所以k_AB＝.

　 由弦长公式得|AB|＝＝ .

　 又|AB|＝4，所以p＝1或p＝2，因此所求抛物线方程为x²＝2y或x²＝4y.

1．A、B是抛物线y²＝2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)．求证：

　 (1)A，B的横坐标之积为定值；(2)直线AB经过一定点．

　 证明：(1)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则有y＝2px₁，y＝2px₂，

　 又∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂＝0，∵y·y＝4p²x₁x₂，

　 将y₁y₂＝－x₁x₂代入，得xx＝4p²x₁x₂，得知，x₁x₂≠0，

　 ∴x₁x₂＝4p²，故A，B两点横坐标之积为定值4p².

　 (2)∵y－y＝(y₂+y₁)(y₂－y₁)＝2p(x₂－x₁)，x₁≠x₂.∴＝，

　 ∴直线AB的方程为y－y₁＝(x－x₁)，

　 又由x₁＝，得y＝x+y₁－·＝x+，

　 由(1)y₁y₂＝－x₁x₂＝－4p²代入，可得y＝x－＝(x－2p)，

　 所以直线AB过定点(2p,0)．

10．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M为椭圆上的任意一点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y＝x为对称轴的点M₁和M₂，且|M₁M₂|＝，求椭圆方程．

　 解答：设所求椭圆的方程为+＝1(a>b>0)，

　 M₁、M₂两点的坐标分别为(x₁，y₁)、(y₁，x₁)，x₁>0，则(a+c)(a－c)＝4，即b²＝4，且+＝1，①

　 +＝1，②

　 ①－②得+＝0，

　 ∵x₁≠y₁，∴(－)(x₁+y₁)＝0，∴y₁＝－x₁，|M₁M₂|＝＝2x₁.

　 又|M₁M₂|＝，∴x₁＝.

　 ∴M₁点的坐标为(，－)代入方程+＝1得+＝1，解得a²＝5.

　 因此所求椭圆的方程为+＝1.

★　 选做题

9．过抛物线焦点F的直线交抛物线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R点，求证：|FR|＝|PQ|.

　 证明：证法一：如图设抛物线方程为y²＝2px，p＞0则直线PQ的方程为y＝k(x－)，k≠0，设P、Q两点的坐标为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)

　 由得k²x²－p(k²+2)x+＝0，

　 ∴Δ＝p²(k²+2)²－4k²＝4p²k²+4p².

　 且x₁+x₂＝，x₁x₂＝，|PQ|＝|x₁－x₂|＝.

　 由＝，得＝k(－)＝k＝.

　 ∴直线PQ垂直平分线的方程为y－＝－，

　 令y＝0，得x＝p+，∴|FR|＝－＝.

　 因此|FR|＝|PQ|.

　 证法二：设P、Q两点坐标为(，y₁)、(，y₂)，由直线PQ过F点可证y₁y₂＝－p²，|PQ|＝ ＝，直线PQ的斜率为＝.

　 ∴直线PQ垂直平分线方程为y－＝－(x－)，

　 令y＝0，得x＝p+，∴|FR|＝(p+)－

　 ＝＝，则|FR|＝|PQ|.

　 证法三：如上图，PQ的中点为M，过P、Q、M分别作PP′、MM′、QQ′垂直于抛物线的准线x＝－，连结M′F、M′P，由抛物线的定义得

　 |MM′|＝(|PP′|+|QQ′|)＝(|PF|+|QF|)＝|PQ|＝|MP|，∴∠M′PM＝∠PM′M＝∠P′PM′.

又|PP′|＝|PF|，PM′为△PM′P′与△PM′F的公共边，∴△PM′P′≌△PM′F，则M′F⊥PQ.

又MR⊥PQ，∵M′F∥MR，又MM′∥FR，∴四边形FRMM′为平行四边形．

∴|FR|＝|MM′|＝|PQ|.

8．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y＝x+1与该椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|＝，求椭圆方程．

　 解答：设椭圆方程为mx²+ny²＝1(m>0，n>0，且m≠n)，设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)．

　 由消去y，整理得(m+n)x²+2nx+n－1＝0，Δ＝4n²－4(m+n)(n－1)>0，

　 即m+n－mn>0，OP⊥OQ等价于x₁x₂+y₁y₂＝0，

　 将y₁＝x₁+1，y₂＝x₂+1代入，整理得2x₁x₂+(x₁+x₂)+1＝0，

　 ∴－+1＝0⇒m+n＝2，①

　 由弦长公式，得2·＝()²，将m+n＝2代入，得mn＝.②

　 解①②得或

　 显然满足Δ>0，故所求椭圆的方程为+＝1或+＝1.