Question

3．如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象与边BC交与点F．
（1）若△OAE、△OCF的面积分别为S₁、S₂，且S₁+S₂=2，求k的值；
（2）在（1）的结论下，当OA=2，OC=4时，求三角形OEF的面积．

Answer 1

分析 （1）利用反比例函数图象上点的坐标性质设E（x₁，$\frac{k}{{x}_{1}}$）（x₁＞0），F（x₂，$\frac{k}{{x}_{2}}$）（x₂＞0），代入解析式求出即可；
（2）首先得出E，F点坐标，再利用S_△OEF=S_矩形AOCE-S_△AOE-S_△OCF-S_△BEF求出即可．

解答 解：（1）∵点E、F在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴设E（x₁，$\frac{k}{{x}_{1}}$）（x₁＞0），F（x₂，$\frac{k}{{x}_{2}}$）（x₂＞0），
∴S₁=$\frac{1}{2}$x₁•$\frac{k}{{x}_{1}}$=$\frac{k}{2}$，S₂=$\frac{1}{2}$•x₂•$\frac{k}{{x}_{2}}$=$\frac{k}{2}$，
∵S₁+S₂=2，
∴$\frac{k}{2}$+$\frac{k}{2}$=2，
∴k=2；

（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，
∴E（1，2），F（4，$\frac{1}{2}$），
∴AE=1，BE=3，BF=$\frac{3}{2}$，CF=$\frac{1}{2}$，
∴S_△OEF=S_矩形AOCE-S_△AOE-S_△OCF-S_△BEF=$\frac{15}{4}$．

点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出E，F点坐标是解题关键．