分析 （1）由正方形的性质得出OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，∠OAD=∠ODA=∠OCD=45°，证出OG=OE，由SAS证明△AOG≌△DOE，得出对应边相等即可；
（2）①证出∠DOM=∠CON，由ASA证明△ODM≌△OCN，得出△ODM的面积=△OCN的面积，因此四边形OMDN的面积=△OCD的面积=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面积，即可得出结果；
②由正方形的性质和勾股定理得出AC=$\sqrt{2}$AB=2，OA=1，由勾股定理的逆定理得出△AOG′是直角三角形，求出∠AG′O=30°，得出∠AOG′=60°，即可得出结果；当旋转到如图2所示位置，当AG′=$\sqrt{3}$时，α=180°-30°=150°；即可得出结果．
解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，∠OAD=∠ODA=∠OCD=45°，
∴∠AOG=∠DOE=90°，
∵OG=2OD，OE=2OC，
∴OG=OE，
在△AOG和△DOE中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}&{\;}\\{∠AOG=∠DOE}&{\;}\\{OG=OE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△DOE（SAS），
∴AG=DE；
（2）解：①两个正方形重合部分的面积不变化；理由如下：
如图1所示：
∵∠AOD=∠G′OE′，
∴∠DOM=∠CON，
在△ODM和△OCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DOM=∠CON}&{\;}\\{OD=OC}&{\;}\\{∠ODA=∠OCD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ODM≌△OCN（ASA），
∴△ODM的面积=△OCN的面积，
∴四边形OMDN的面积=△OCD的面积=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面积，
即两个正方形重合部分的面积不会发生变化；
②当α为锐角时，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=$\sqrt{2}$，∠ABC=90°，OA=OD=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=2，
∴OA=1，
∴OG′=OG=2OD=2，
∵OA2+AG′2=12+（$\sqrt{3}$）2=4，OG′2=4，
∴OA2+AG′2=OG′2，
∴△AOG′是直角三角形，∠OAG′=90°，
∵OA=$\frac{1}{2}$OG′，
∴∠AG′O=30°，
∴∠AOG′=60°，
∴∠DOG′=90°-60°=30°，
即α=30°；
当旋转到如图2所示位置，当AG′=$\sqrt{3}$时，α=180°-30°=150°；
综上所述：α的度数为30°或150°．
点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、含30°角的直角三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
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如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8．BC=6，点P以每秒1个单位的速度从查看答案和解析>>
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如图，将一副三角板的直角顶点重合，若∠AOD=145°，则∠BOC=35°．