Question

4．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG．
（1）求证：AE=CG；
（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）先证明△AEB≌△CGD，得出对应角相等∠AEB=∠CGD，得出∠AEB=∠EGF，即可证出平行线．

解答 解：（1）证明：在正方形ABCD中，
∵AD=CD，
∴∠DAE=∠DCG，
∵DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴∠AED=∠CGD．
在△AED和△CGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠DCG}\\{∠AED=∠CGD}\\{DE=DG}\end{array}\right.$
∴△AED≌△CGD（AAS），
∴AE=CG．
（2）解法一：BE∥DF，理由如下：
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCG．
在△AEB和△CGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CG}\\{∠BAE=∠DCG}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△CGD（SAS），
∴∠AEB=∠CGD．
∵∠CGD=∠EGF，
∴∠AEB=∠EGF，
∴BE∥DF．

解法二：BE∥DF，理由如下：
在正方形ABCD中，
∵AD∥FC，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{CF}{AD}$．
∵CG=AE，
∴AG=CE．
又∵在正方形ABCD中，AD=CB，
∴$\frac{CG}{CE}$=$\frac{CF}{CB}$．
又∵∠GCF=∠ECB，
∴△CGF∽△CEB，
∴∠CGF=∠CEB，
∴BE∥DF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．