Question

12．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象交于A （-3，1），B （1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）设直线AB与y轴交于点C，若点P在x轴上，使BP=AC，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A （-3，1）代入y=$\frac{m}{x}$，把A （-3，1），B（1，-3）代入y=kx+b，即可得到结果；
（2）直线AB与y轴交于点C，求得C（0，-2），求出AC=$\sqrt{（-2-1）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，由于点P在x轴上，设P（a，0）根据AC=PB和两点间的距离公式得3$\sqrt{2}$=$\sqrt{（1-a）^{2}+（-3）^{2}}$，解得a=4，或a=-2，即可得到结果．

解答 解：（1）把A （-3，1）代入y=$\frac{m}{x}$，得$1=\frac{m}{-3}$，
解得m=-3，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{x}$，
当x=1时，$y=-\frac{3}{1}=-3$，
∴B（1，-3）；
把A （-3，1），B（1，-3）代入y=kx+b，∴$\left\{\begin{array}{l}{1=-3k+b}\\{-3=k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y=-x-2；

（2）∵直线AB与y轴交于点C，
∴C（0，-2），
∴AC=$\sqrt{（-2-1）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，∵点P在x轴上，
∴设P（a，0）
∵AC=PB，
∴3$\sqrt{2}$=$\sqrt{（1-a）^{2}+（-3）^{2}}$，
解得：a=4，或a=-2，∴P（4，0）或（-2，0）．

点评 本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，两点间的距离公式，正确的识图是解题的关键．