Question

5．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，直线CG与⊙O相切于点C，CG∥AE，CG与BA的延长线交于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．
（1）求证：$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$；
（2）若∠EAB=30°，CF=a，写出求四边形GAFC周长的思路．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据切线的性质得到CG⊥OC．根据垂径定理即可得到结论；
（2）连接AC，根据平行线的性质得到∠CGB=30°，推出△AOC是等边三角形，?根据等边三角形的性质得到∠CAF=∠ACF=30°，CF=AF=a，DF=$\frac{1}{2}a$，根据相似三角形的性质得到AG=$\sqrt{3}$a，GC=3a．于是得到结论．

解答 证明：（1）连接OC，如图．
∵直线CG与⊙O相切于点C，
∴CG⊥OC．
∵CG∥AE，
∴AE⊥OC．
又∵OC为⊙O的半径，
∴$\widehat{AC}=\widehat{CE}$；

（2）解：连接AC，如图．
?由∠EAB=30°，CG∥AE，可得∠CGB=30°，
又由直线CG与⊙O相切于点C，∠AOC=60°，
可推出△AOC是等边三角形，
?由△AOC是等边三角形，∠EAB=30°，CF=a，
可得∠CAF=∠ACF=30°，CF=AF=a，DF=$\frac{1}{2}a$，
AD=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
?利用CG∥AE，可得到△ADF∽△GDC，从而推出AG=$\sqrt{3}$a，GC=3a．
故计算出四边形GAFC的周长为5a+$\sqrt{3}$a．

点评 本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．