Question

如图1，直线y=-x+2与x轴、y轴分别相交于点C、D，一个含45°角的直角三角板的锐角顶点A在线段CD上滑动，滑动过程中三角板的斜边始终经过坐标原点，∠A的另一边与x轴的正半轴相交于点B．
（1）试探索△AOB能否为等腰三角形？若能，请求出点B的坐标；若不能，请说明理由．
（2）如图2，若将题中“直线y=-x+2”、“∠A的另一边与x轴的正半轴相交于点B”分别改为：“直线y=-x+t（t＞0）”、“∠A的另一边与x轴的负半轴相交于点B”（如图2），其他条件保持不变，请探索（1）中的问题（只考虑点A在线段CD的延长线上且不包括点D时的情况）

Answer 1

（1）由题意，把x=0代入y=-x+2，y=0代入y=-x+2，
∴点C、D的坐标分别为（2，0），（0，2），
∴OC=OD=2，CD=2

2

，∠OCD=∠ODC=45°，
当点A在线段CD上时，△AOB为等腰三角形有如下三种情况：
①OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°，因此∠AOB=90°，
点A与点D重合，点B与点C重合，所以点B的坐标为（2，0）；
②AB=OB，则∠BOA=∠OAB=45°=∠OCD，
因此∠ABO=90°，AO=AC，
所以点B为线段的中点，点B的坐标为（1，0）；
③AB=AO，由∠CAO=∠ADO+∠AOD得：
∠BAC+45°=∠AOD+45°，
则∠BAC=∠AOD，
又∠OCD=∠ODC，
所以∠ABC=∠OAD，
因此△ABC≌△OAD，
所以AC=OD=2，BC=AD=2

2

-2，
则OB=4-2

2

，
点B的坐标为（4-2

2

，0），
综上，在滑动过程中△AOB可为等腰三角形，点B的坐标分别为（2，0），（1，0），（4-2

2

，0）；

（2）①若OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°，因此∠AOB=90°，点A与点D重合，
则OB=OD=t，所以点B的坐标为（-t，0），故与题意不符；
②若AB=OB，则∠BOA=∠OAB=45°=∠OCD，
因此∠ABO=90°，不成立；
③若AB=AO，则∠AOB=∠ABO=67.5°，
∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=22.5°，
∴∠OAD=∠ODC-∠AOD=22.5°=∠AOD，
∴∠ABC=∠BAC=67.5°，
∴AD=OD=t，CB=CA=

2

t+t，
∴OB=CB-CO=

2

t，
∴点B的坐标为（-

2

t，0）．
综上，在滑动过程中△AOB可为等腰三角形，点B的坐标分别为（-

2

t，0）．