Question

4．如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．

（1）当t=$\frac{1}{2}$秒时，则OP=1，S_△ABP=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ•BP=3．为了证明AQ•BP=3，小华同学尝试过O点作OE∥AP交BP于点E．试利用小华同学给我们的启发补全图形并证明AQ•BP=3．

Answer 1

分析 （1）作PH⊥AB于H，根据运动时间和速度求出OP的长，根据正弦的概念求出PH，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）分∠ABP=90°和∠APB=90°两种情况根据相似三角形的性质计算即可；
（3）根据题意补全图形，根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明△QAO∽△OEP，得到AQ•EP=EO•AO，证明△OBE∽△ABP，根据相似三角形的性质解答即可．

解答 解：（1）作PH⊥AB于H，
∵动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，
∴当t=$\frac{1}{2}$秒时，则OP=1，
∵∠BOC=60°，OP=1，
∴PH=OP×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$×AB×PH=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
故答案为：1；$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（2）①∵∠A＜∠BOC=60°，
∴∠A不可能是直角．
②如备用图，当∠ABP=90°时，
∵∠BOC=60°，
∴∠OPB=30°．
∴OP=2OB，即2t=2．
∴t=1；
③当∠APB=90°，如图1，
OP=2t，OH=t，PH=$\sqrt{3}$t，AH=2+t，HB=1-t，
∵∠APH+∠BPH=90°，∠B+∠BPH=90°，
∴∠APH=∠B．
∴△APH∽△PBH．
∴$\frac{AH}{PH}$=$\frac{PH}{BH}$，即$\frac{2+t}{\sqrt{3}t}$=$\frac{\sqrt{3}t}{1-t}$，
整理得4t²+t-2=0，
解得t₁=$\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$，t₂=$\frac{-1-\sqrt{33}}{8}$（舍去）；
（3）补全图形，如图，
∵AP=AB，
∴∠APB=∠B．
∵OE∥AP，
∴∠OEB=∠APB=∠B．
∵AQ∥BP，
∴∠QAB+∠B=180°．
∵∠OEP+∠OEB=180°，
∴∠OEP=∠QAB．
又∵∠AOC=∠OPB+∠B=∠AOQ+∠QOP，
∵∠B=∠QOP，
∴∠AOQ=∠OPB．
∴△QAO∽△OEP．
∴$\frac{AQ}{EO}$=$\frac{AO}{EP}$，即AQ•EP=EO•AO．
∵OE∥AP，
∴△OBE∽△ABP．
∴$\frac{OE}{AP}$=$\frac{BE}{BP}$=$\frac{BO}{BA}$=$\frac{1}{3}$．
∴OE=$\frac{1}{3}$AP=1，BP=$\frac{3}{2}$EP．
∴AQ•BP=AQ•$\frac{3}{2}$EP=$\frac{3}{2}$AO•OE=$\frac{3}{2}$×2×1=3．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线、掌握相关定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用和解一元二次方程的一般步骤的熟练掌握．