Question

16．（1）如图1，直线a∥b∥c∥d，且a与b，c与d之间的距离均为1，b与c之间的距离为2，现将正方形ABCD如图放置，使其四个顶点分别在四条直线上，求正方形的边长；
（2）在（1）的条件下，探究：将正方形ABCD改为菱形ABCD，如图2，当∠DCB=120°时，求菱形的边长．

Answer 1

分析 （1）如图1，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为P，Q，通过证得△CBP≌△CDQ，得出CP=DQ=1，然后根据勾股定理即可求得；
（2）如图2，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为M，N，作∠BPC=∠DQC=120°，P，Q在直线d上，通过证得△BPC≌△DQC证得PC=DQ，通过解直角三角形求得PM，DQ，进而求得MC，然后根据勾股定理即可求得．

解答 解：（1）如图1，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为P，Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BCD=90°，
∴∠PCB+∠QCD=90°，
∵∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠PBC=∠QCD，
在△CBP和△CDQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBC=∠QCD}\\{∠BPC=∠CQD=90°}\\{BC=CD}\end{array}\right.$
∴△CBP≌△CDQ（AAS），
∴CP=DQ=1，
∵BP=3，
∴$CB=\sqrt{{1^2}+{3^2}}=\sqrt{10}$；
（2）如图2，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为M，N，作∠BPC=∠DQC=120°，P，Q在直线d上，
∵∠DCB=120°，
∴∠PCB+∠DCQ=60°，
∵∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠PBC=∠DCQ，
在△BPC和△CQD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBC=∠DCQ}\\{∠BPC=∠DQC}\\{BC=CD}\end{array}\right.$
∴△BPC≌△DQC，
∴PC=DQ，PB=CQ，
∵∠BPC=∠DQC=120°，
∴∠BPM=∠DQN=60°，
∴sin∠BPM=$\frac{BM}{PB}$，sin∠DQN=$\frac{DN}{DQ}$，
∵BM=3，DN=1，
∴PB=2$\sqrt{3}$，DQ=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
∴PC=DQ=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
∵∠BPM=60°，
∴∠PBM=30°，
∵在RT△PBM中，PM=$\frac{1}{2}$PB=$\sqrt{3}$，
∴MC=PC+PM=$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$，
∴在RT△PBM中，BC=$\sqrt{B{M}^{2}+M{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{5\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{39}$．

点评 本题考查了正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．