Question

7．如图，直线y₁=$\frac{1}{2}$x+1分别交x轴，y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$（x＞0）在第一象限内的交点，PB⊥x轴于点B，△PAB的面积为4．
（1）求双曲线的解析式；
（2）根据图象直接写出y₁＜y₂的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出直线y=$\frac{1}{2}$x+1与x轴，y轴于点A，C，根据点P在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上，可设点P的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m+1），根据S_△APB=$\frac{1}{2}$AB•PB就可以得到关于m的方程，求出m的值即可得到结果；
（2）根据图象即可求出y₁＜y₂的x的取值范围．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{2}$x+1，令x=0，则y=1；令y=0，则x=-2，
∴点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，1），
∵点P在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上，可设点P的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m+1），
又∵S_△APB=$\frac{1}{2}$AB•PB=4，
∴$\frac{1}{2}$（2+m）（$\frac{1}{2}$m+1）=4，
即：m²+4m-12=0，
∴m₁=-6，m₂=2，
∵点P在第一象限，
∴m=2，
∴点P的坐标为（2，2），
∵点P在双曲线y₂=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴k=4，
∴双曲线的解析式为：y-$\frac{4}{x}$，

（2）由图象知：y₁＜y₂的x的取值范围为：0＜x＜2．

点评 本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及函数图象上的点与解析式的关系，图象上的点一定满足函数解析式，正确识别图形是解题的关键．