Question

20．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线ADD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则下列结论中错误的是（　　）

• A． AB=2AE
• B． AC=2CD
• C． DB=2CD
• D． AD=2DE

Answer 1

分析 根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质求出求出∠CAD=∠BAD=∠B=30°，根据30°角的直角三角形的性质即可判断．

解答 解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，AB=2AE，
∴∠DAB=∠B，
∵∠CAD=∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BAC=2∠B，
∵∠C=90°，
∴∠B=30°，∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠DAB=30°，
∴AD=2CD，BD=AD=2DE，
∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∴BD=2CD，
∵AD=2CD，AD＞AC，
∴AC≠2CD，
故选B．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．