Question

8．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BC=10，cos∠ACB=$\frac{4}{5}$，点E在对角线AC上，且CE=AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G，设AD=x，△AEF的面积为y．
（1）求证：∠DCA=∠EBC；
（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由AD=CE，AC=BC，利用SAS可得△DCA≌△ECB，由全等三角形的性质可得结论；
（2）由AD与BC平行，得到三角形AEF与三角形CEB相似，由相似得比例表示出AF，过E作EH垂直于AF，根据锐角三角函数定义表示出EH，进而表示出y与x的函数解析式，并求出x的范围即可；
（3）分两种情况考虑：①当∠FDG=90°时，如图2所示，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，即为x的值，代入求出y的值，即为三角形AEF面积；②当∠DGF=90°时，过E作EM⊥BC于点M，如图3所示，由相似列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而求出y的值，即为三角形AEF面积．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ECB，
在△DCA和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}&{\;}\\{∠DAC=∠ECB}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴∠DCA=∠EBC；
（2）∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{CE}$，即$\frac{AF}{10}=\frac{10-x}{x}$，
解得：AF=$\frac{10（10-x）}{x}$，
作EH⊥AF于H，如图1所示，

∵cos∠ACB=$\frac{4}{5}$，
∴EH=$\frac{3}{5}$AE=$\frac{3}{5}$（10-x），
∴y=S_△AEF=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$（10-x）×$\frac{10（10-x）}{x}$=$\frac{3（10-x）^{2}}{x}$，
∴y=$\frac{3{x}^{2}-60x+300}{x}$，
∵点G在线段CD上，
∴AF≥AD，即$\frac{10（10-x）}{x}$≥x，
∴x≤5$\sqrt{5}$-5，
∴0＜x≤5$\sqrt{5}$-5，
∴y关于x的函数解析式为：y=$\frac{3{x}^{2}-60x+300}{x}$，（0＜x≤5$\sqrt{5}$-5）；
（3）分两种情况考虑：
①当∠FDG=90°时，如图2所示：

在Rt△ADC中，AD=AC×$\frac{4}{5}$=8，即x=8，
∴S_△AEF=y=$\frac{3×（10-8）^{2}}{8}$=$\frac{3}{2}$；
②当∠DGF=90°时，过E作EM⊥BC于点M，如图3所示，

由（1）得：CE=AF=x，
在Rt△EMC中，EM=$\frac{3}{5}$x，MC=$\frac{4}{5}$x，
∴BM=BC-MC=10-$\frac{4}{5}$x，
∵∠GCE=∠GBC，∠EGC=∠CGB，
∴△CGE∽△BGC，
∴$\frac{CE}{CB}$=$\frac{CG}{BG}$，即$\frac{x}{10}$=$\frac{CG}{BG}$，
∵∠EBM=∠CBG，∠BME=∠BGC=90°，
∴△BME∽△BGC，
∴$\frac{CG}{BG}$=$\frac{EM}{BM}$=$\frac{\frac{3}{5}x}{10-\frac{4}{5}x}$，
∴$\frac{x}{10}$=$\frac{\frac{3}{5}x}{10-\frac{4}{5}x}$，即x=5，
此时y=$\frac{3×（10-5）^{2}}{5}$=15，
综上，此时△AEF的面积为$\frac{3}{2}$或15．

点评 此题属于相似型综合题，涉及的知识有：平行线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，利用了分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．