Question

13．已知：△ABC，∠ABC=90°，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，点D点在AC边的延长线上，且DB²=DC•DA（如图）．
（1）求$\frac{DC}{CA}$的值；
（2）如果点E在线段BC的延长线上，联结AE．过点B作AC的垂线，交AC于点F，交AE于点G．
①如图1，当CE=3BC时，求$\frac{BF}{FG}$的值；
②如图2，当CE=BC时，求$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△BEG}}$的值；

Answer 1

分析 （1）由三角函数和已知条件得出得出$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{DC}{DB}$=$\frac{DB}{DA}$，证出△DBC∽△DAB，得出对应边成比例，即可得出结果；
（2）①作EH⊥BG交BG的延长线于H，由平行线得出△BCF∽△BEH，得出$\frac{BF}{BH}$=$\frac{CF}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{1}{4}$，证明△CFB∽△BFA，得出$\frac{CF}{BF}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，得出$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CF}{BF}$•$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{4}$，证出AF=EH，再由平行线证出△AFG∽△EHG，得出$\frac{FG}{GH}$=$\frac{AF}{EH}$=1，设BF=a，则BH=4a，得出FG=GH=$\frac{3}{2}$a，即可得出结果；
②作EH⊥BG交BG的延长线于H，同①1得出$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CF}{BF}$•$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{4}$，设CF=a，则AF=4a，EH=2a，CA=CF+AF=5a，由（1）知$\frac{DC}{CA}$=$\frac{1}{3}$，得出DC=$\frac{5}{3}$a，由平行线得出△AFG∽△EHG，得出$\frac{FG}{GH}$=$\frac{AF}{EH}$=$\frac{4a}{2a}$=2，设GH=b，则FG=2b，BF=FH=3b，BG=BF+FG=5b，由三角形的面积公式即可得出结果．

解答 解（1）在Rt△ABC中，tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵DB²=DC•DA，
∴$\frac{DC}{DB}$=$\frac{DB}{DA}$，
∵∠D=∠D，
∴△DBC∽△DAB，
∴$\frac{DC}{DB}$=$\frac{DB}{DA}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DC}{DA}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{DC}{CA}$=$\frac{DC}{DA-DC}$=$\frac{1}{3}$；
（2）①作EH⊥BG交BG的延长线于H，如图1所示：
∵CE=3BC，
∴$\frac{BC}{BE}$=$\frac{1}{4}$，
∵BF⊥AD，
∴AD∥EH，
∴△BCF∽△BEH，
∴$\frac{BF}{BH}$=$\frac{CF}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{1}{4}$，
∵∠ABC=90°，BF⊥AD，
∴△CFB∽△BFA，
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CF}{BF}$•$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∵$\frac{CF}{EH}$=$\frac{1}{4}$，
∴AF=EH，
∵AD∥EH，
∴△AFG∽△EHG，
∴$\frac{FG}{GH}$=$\frac{AF}{EH}$=1，
设BF=a，
∵$\frac{BF}{BH}$=$\frac{1}{4}$，
∴BH=4a，
∴FH=BH-BF=4a-a=3a，
∴FG=GH=$\frac{3}{2}$a，
∴$\frac{BF}{FG}$=$\frac{a}{\frac{3}{2}a}$=$\frac{2}{3}$；
②作EH⊥BG交BG的延长线于H，如图2所示：
∵CE=BC，
∴$\frac{BC}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∵BF⊥AD，
∴AD∥EH，
∴△BCF∽△BEH，
∴$\frac{BF}{BH}$=$\frac{CF}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠ABC=90°，BF⊥AD，
∴△CFB∽△BFA，
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CF}{BF}$•$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
设CF=a，则AF=4a，EH=2a，CA=CF+AF=a+4a=5a，
由（1）知$\frac{DC}{CA}$=$\frac{1}{3}$，
∴DC=$\frac{5}{3}$a，
∵AD∥EH，
∴△AFG∽△EHG，
∴$\frac{FG}{GH}$=$\frac{AF}{EH}$=$\frac{4a}{2a}$=2，
设GH=b，则FG=2b，BF=FH=3b，BG=BF+FG=3b+2b=5b，
∴$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△BEG}}$=$\frac{\frac{1}{2}DC•BF}{\frac{1}{2}BG•EH}$=$\frac{\frac{5}{3}a•3b}{5b•2a}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形面积的计算、比例的性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）中，需要多次证明三角形相似才能得出结果．