我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆 .如果一条直线与“蛋圆只有一个交点(半圆与二次函数图象的连接点除外).那么这条直线叫做“蛋圆的切线．如图.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A.B.与y轴交于点D.AB为半圆直径.半圆圆心为点M.半圆与y轴的正半轴交于点C．(1)求点C的坐标,(2)分别求出经过点C和点D的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，AB为半圆直径，半圆圆心为点M，半圆与y轴的正半轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）分别求出经过点C和点D的“蛋圆”的切线的表达式．

分析（1）连接CM，易求点A，B的坐标，进而可得到AB的长，则圆的半径可求出，再由勾股定理可求出OC的长，继而可求出点C的坐标；
（2）由（1）可知点C的坐标，设过点C的“蛋圆”的切线交x轴于点G，然后根据三角形性质求出G点坐标，用待定系数法求出直线GC的解析式；因为经过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为y=kx-3．根据图象可求出抛物线的解析式，因为相切，所以它们的交点只有一个，进而可根据一元二次方程的有关知识解决问题．

解答解：（1）∵二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，
∴点A（-1，0），点B的坐标是（3，0），
∴AB=4，
∵半圆圆心为点M，
∴BM=AM=2，
∴OM=1，
连接CM，
∴OC=$\sqrt{C{M}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴点C的坐标是（0，$\sqrt{3}$）；
（2）设过点C的“蛋圆”的切线交x轴于点G，
∵GC是⊙M的切线，
∴∠GCM=90°，
∴cos∠OMC=$\frac{OM}{MC}$=$\frac{MC}{MG}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{MG}$，
∴MG=4，
∴G（-3，0），
∴直线GC的表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
设过点D的直线表达式为y=kx-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{y{=x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
∴x²-（2+k）x=0，
∴△=[-（2+k）]²=0，
∴k=-2，
∴过点D的“蛋圆”的切线的表达式为y=-2x-3．

点评本题考查和圆以及二次函数有关的综合题目，需灵活运用待定系数法建立函数解析式，并利用切线的性质，结合一元二次方程是解题关键，题目的设计新颖，是一道不错的中考题目．

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