Question

20．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求t的值．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，试探索：在旋转过程中，∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的定义可知∠MOC=∠MOB，根据等角的余角相等可知∠COD=∠BON，由对顶角相等可知∠AOD=∠BON，从而可证明∠COD=∠AOD，故此
ON平分∠AOC；
（2）由直线ON恰好平分锐角∠AOC可知旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，根据旋转速度可求得需要的时间；
（3）由∠MON=90°，∠AOC=60°，可知∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，最后求得两角的差，从而可做出判断．

解答 解：（1）直线ON平分∠AOC． 
理由：如图：所示设ON的反向延长线为OD．

∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB．
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD=∠MON=90°．
∴∠COD=∠BON．
又∵∠AOD=∠BON（对顶角相等），
∴∠COD=∠AOD．
∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC．  
（2）∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°．
∴∠BON=∠COD=30°．
即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC．
由题意得，6t=60°或240°．
解得：t=10或40；
（3）∠AOM-∠NOC的差不变．
∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON．
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．

点评 本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，用含∠AON的式子表示出∠AOM和∠NOC的长是解题的关键．