Question

12．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE，EF和CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF；
（2）根据题意可知△ABC和△EBF都是等腰直角三角形，求出∠AEB=75°．由（1）知△ABE≌△CBF，可得∠CFB=∠AEB=75°，利用角之间的关系即可解答．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，
∴∠ABC=∠CBF=90°．
在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF．
（2）∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，
∴△ABC和△EBF都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠EFB=45°．
∵∠CAE=30°，
∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=30°+45°=75°．
由（1）知△ABE≌△CBF，
∴∠CFB=∠AEB=75°．
∴∠EFC=∠CFB-∠EFB=75°-45°=30°．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．