Question

14．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且$\widehat{BC}=\widehat{CF}$，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若$\widehat{AF}=\widehat{FC}$，CD=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结OC，由F，C，B三等分半圆，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由F，C，B三等分半圆得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵$\widehat{BC}=\widehat{CF}$，
∴∠FAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵$\widehat{BC}=\widehat{CF}$=$\widehat{AF}$，
∴∠BOC=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=4，
∴AC=2CD=8，
在Rt△ACB中，BC²+AC²=AB²，
即8²+（$\frac{1}{2}$AB）²=AB²，
∴AB=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴⊙O的半径为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．