Question

17．如图，平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，A（3，0），B（0，4）．将Rt△AOB绕点A顺时针旋转得到Rt△ACD，旋转后点D恰好落在AB边上时，则D点的坐标为（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥OA，垂足为E，然后在Rt△AOB中，由勾股定理求得AB的长度，接下来再证明△AED∽△AOB，最后由相似三角形的性质求得AE、DE的长度，从而可求得点D的坐标．

解答 解：过点D作DE⊥OA，垂足为E．

由点A、B的坐标可知；OA=3，OB=4．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
由旋转的性质可知：AD=3．
∵OB⊥OA，DE⊥OA，
∴DE∥OB．
∴△AED∽△AOB．
∴$\frac{DA}{AB}=\frac{AE}{AO}=\frac{ED}{OB}$，即$\frac{3}{5}=\frac{AE}{3}=\frac{ED}{4}$，
∴AE=$\frac{9}{5}$，ED=$\frac{12}{5}$，
∴OE=OA-AE=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴点D的坐标为（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，由相似三角形的性质求得AE、DE的长度是解题的关键．