Question

14．甲乙两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过丙市，现有两位司机M、N相约各自同时从甲乙两地出发，途中M将一件物品交给N，已知M从甲市到丙市，N从乙市到甲市，N的速度是M的$\frac{3}{4}$，他们开车距离丙市的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）的函数图象如图所示．
（1）求a的值；
（2）求AB所在直线的函数解析式及C点的坐标；
（3）何时他们相距300千米？

Answer 1

分析 （1）根据函数图象先求得N的速度，从而可求得M的速度，根据路程、时间、速度之间的关系即可求得a的值；
（2）首先求得b的值，然后利用待定系数法求得直线AB的解析式，再根据路程÷速度=时间，求得两人相遇的时间，从而可求得点C的坐标；
（3）根据|y₁-y₂|=300，列方程求解即可．

解答 解：（1）由函数图象可知：N从乙市到丙市的路程为120千米，所用时间为2小时，
所以N的速度=120÷2=60千米/小时，所以M的速度=60÷$\frac{3}{4}$=80千米/小时，
由函数图象可知：M从甲市到丙市的路程为480千米，所以a=480÷80=6，
∴a=6；
（2）N从丙市到甲市的路程为480千米，速度为60千米/小时，
∴b=2+480÷60=10，
∴点B的坐标为（10，480）
设直线AB的解析式为y₁=k₁x+b₁，
将点（10，480）、（2，0）代入函数的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{1}+{b}_{1}=0}\\{10{k}_{1}+{b}_{1}=480}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=60}\\{{b}_{1}=-120}\end{array}\right.$，
∴直线AB得解析式为y₁=60x-120，
480+120=600，600÷（60+80）=$\frac{30}{7}$，将x=$\frac{30}{7}$代入y=60x-120，得：y=$\frac{960}{7}$，
∴点C的坐标为（$\frac{30}{7}$，$\frac{960}{7}$）；
（3）设直线CD的解析式为y₂=k₂t+b₂，
将点（0，480），（6，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}=480}\\{6{k}_{2}+{b}_{2}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-80}\\{{b}_{2}=480}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y₂=-80t+480
∵两人相距300千米，
∴|-80t+480-（60t-120）|=300
解得：t=$\frac{15}{7}$或t=$\frac{45}{7}$．
答：出发后$\frac{15}{7}$小时或$\frac{45}{7}$小时，两车相距300千米．

点评 本题主要考查的是一次函数的实际应用，根据函数图象求得两车的速度，从而得到a、b的值是解题的关键．