Question

3．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，易证△ABP∽△PCD，从而得到BP•PC=AB•CD（不需证明）

探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，结论BP•PC=AB•CD仍成立吗？请说明理由？
拓展：如图③，在△ABC中，点P是BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=4$\sqrt{2}$，CE=3，则DE的长为$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 探究：通过相似三角形△ABP∽△PCD的对应边成比例来证得BP•PC=AB•CD；
拓展：利用相似三角形△BDP∽△CPE得出比例式求出BD，三角形内角和定理证得AC⊥BC且AC=BC；然后在直角△ABC中由勾股定理求得AC=BC=4；最后利用在直角△ADE中利用勾股定理来求DE的长度．

解答 解：探究，成立，
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，
∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．
∵∠B=∠APD，
∴∠BAP=∠CPD．
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
∴$\frac{BP}{CD}$=$\frac{AB}{PC}$，即BP•PC=AB•CD；

拓展：同理可得△BDP∽△CPE，
∴$\frac{BD}{CP}$=$\frac{BP}{CE}$，
∵点P是边BC的中点，
∴BP=CP=2$\sqrt{2}$，
∵CE=3，
∴$\frac{BD}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴BD=$\frac{8}{3}$，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=90°，
即AC⊥BC且AC=BC=4，
∴AD=AB-BD=$\frac{4}{3}$，AE=AC-CE=1，
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\frac{5}{3}$．
故答案是：$\frac{5}{3}$．

点评 主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理．解本题的关键是△ABP∽△PCD．