Question

如图1，已知正方形ABCD，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与一重合，当直角的一边与BC相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点时．

（1）证明：BE=DF；

（2）如图2，作∠EAF的平分线交CD于G点，连接EG．证明：BE＋DG=EG；

（3）如图3，将图1中的“直角”改为“∠EAF=45°”，当∠EAF的一边与BC的延长线相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点，连接EF．线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？并加以证明．

 

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE=DF+EF.证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据题中所给条件证明△ABE≌△ADF即可．

（2）结合（1）中已证得的条件应证明EG=FG，证明△AEG≌△AFG即可．

（3）如图，过点A作AG⊥AE，交BC于点G，通过证明△AEG≌△AEF即可证明BE=DF+EF.

试题解析：（1）∵∠BAE=∠DAF，AB=AD，∠B=∠ADF=90°，

∴△ABE≌△ADF，

∴AE=AF，BE=DF．

（2）∵AG为∠EAF的角平分线，

∴∠EAG=∠FAG，

又∵AE=AF，AG=AG，

∴△AEG≌△AFG，

∴EG=FG，

∵FG=DG+FD，

∴EG=BE+DG．

（3）如图：

过点A作AG⊥AE，交BC于点G

由（1）可知：△ABG≌△ADF

∴AG=AF，BG=DF

∵AG⊥AF，∠EAF=45°

∴∠GAE=∠EAF=45°

∵AG=AF，AE=AE

∴△AEG≌△AEF

∴EG=EF

∵BE=BG+GE

∴BE=DF+EF.

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质