Question

4．如图1，已知△ABC与△ECD，AC=BC，∠ACB=∠DCE=90°，连接BE、AD，若BE=AD．
（1）求证：BE⊥AD；
（2）如图2，当E点在AB上时，连接BD，过E点作EH⊥BD于H，延长EH与∠ACB外角的平分线交于F，请你探究线段EF与BD的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）过B作BH⊥EC，AK⊥CD，则∠BHC=∠AKC=90°，BC=AC，根据AAS定理得出∠HBC=∠CAK，AK=BC，再由HL定理得出△BEH≌△ADK，故∠EBC=∠CAD，延长BE交AD于M，根据∠BCA=∠BMA=90°即可得出结论；
（2）延长CD至G，使得CD=CG，连接BG，由SAS定理可知△ACE≌BCG，故∠EAC=∠CBG=45°，∠DAB=∠ABG=90°，∠DAB+∠ABG=180°，AD∥BG，∠3=∠DBG．再由相似三角形的判定定理得出△DBG∽EFC，故$\frac{DG}{EC}=\frac{BD}{EF}$根据DG=2EC即可得出结论．

解答 （1）证明：如图1，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠ACD．
过B作BH⊥EC，AK⊥CD，则∠BHC=∠AKC=90°，BC=AC，
在△BCH与△ACK中，
$\left\{\begin{array}{l}∠BCE=∠ACD\\∠BHC=∠AKC\\ BC=AC\end{array}\right.$，
∴△BCH≌ACK（AAS），
∴∠HBC=∠CAK，AK=BC．
在△BEH与△ADK中，
$\left\{\begin{array}{l}BH=AK\\ BE=AD\\∠BHE=∠AKD=90°\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△ADK（HL），
∴∠EBH=∠KAD，
∴∠EBC=∠CAD，
延长BE交AD于M，
∵∠BCA=∠BMA=90°，
∴BE⊥AD．

（2）延长CD至G，使得CD=CG，连接BG，
∵由（1）∠BCE=∠ACD，
∴∠ACE=∠BCG．
在△ACE与△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}AC=BC\\∠ACE=∠BCG\\ CG=CE\end{array}\right.$，
∴△ACE≌BCG（SAS），
∴∠EAC=∠CBG=45°，
∴∠DAB=∠ABG=90°，
∴∠DAB+∠ABG=180°，
∴AD∥BG，
∴∠3=∠DBG
∵∠EAD=∠EHD=∠ECD=90°，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠BCG=∠ABC=45°，
∴CF∥BE，
∴∠F=∠4，
∴∠F=∠DBG，
∴△DBG∽EFC，$\frac{DG}{EC}=\frac{BD}{EF}$
又∵DG=2EC，
∴BD=2EF．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，难度较大．