Question

11．如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一点，且△DEC是等腰三角形．
（1）试比较AD+BC与AB的大小，写出你的猜想，并说明理由；
（2）若AB=7，BC=4，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得出DE=CE，∠DEC=90°，由梯形的性质和角的互余关系得出∠B=90°，∠ADE=∠BEC，由AAS证明△ADE≌△BEC，得出对应边相等AD=BE，AE=BC，即可得出结论；
（2）由（1）的结论求出AD，由梯形的面积公式即可得出结果．

解答 解：（1）AD+BC=AB；理由如下：
∵△DEC是等腰直角三角形．
∴DE=CE，∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B+∠A=180°，∠AED+∠ADE=90°，
∴∠B=90°，∠ADE=∠BEC，
在△ADE和△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B=90°}&{\;}\\{∠ADE=∠BEC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BEC（AAS），
∴AD=BE，AE=BC，
∴AD+BC=BE+AE=AB；
（2）由（1）得：AD+BC=AB，
∴AD=AB-BC=7-4=3，
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（AD+BC）×AB=$\frac{1}{2}$×（3+4）×7=$\frac{49}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、梯形的性质以及面积的计算；本题难度适中，证明三角形全等是解决问题的关键．