Question

11．如图，∠MAN=45°，点C在射线AM上，AC=10，过C点作CB⊥AN交AN 于点B，P为线段AC上一个动点，Q点为线段AB上的动点，且始终保持PQ=PB．

（1）如图1，若∠BPQ=45°，求证：△ABP是等腰三角形；
（2）如图2，DQ⊥AP于点D，试问：此时PD的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请计算其长度；
（3）当点P运动到AC的中点时，将△PBQ以每秒1个单位的速度向右匀速平移，设运动时间为t秒，B点平移后的对应点为E，求△ABC和△PQE的重叠部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由PQ=PB，求得∠PBQ=∠PQB=67.5°，∠APB=180°-45°-67.5°=67.5°，即可得出△ABP为等腰三角形；
（2）PD的长度不变化，过点B作BH⊥AC于点H，由AAS证得△PDQ≌△PBH，得出PD=BH=$\frac{1}{2}$AC=5；
（3）当点P运动到AC的中点时，则点Q与点A重合，△BPQ为等腰直角三角形，QP=PB=$\frac{1}{2}$AC=5，AB=5$\sqrt{2}$，将△PBQ向右平移，点P落到BC上时，平移了$\frac{5\sqrt{2}}{2}$个单位，点Q与点B重合时，平移了5$\sqrt{2}$个单位，分三种情况讨论，①当0＜t＜$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$时，S=S_△PQE-S_△BEF=$\frac{25}{2}-\frac{1}{2}{t^2}$；②当$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$≤t＜$5\sqrt{2}$时，$S=\frac{1}{2}B{Q^2}=\frac{1}{2}×{（{5\sqrt{2}-t}）^2}$=${t^2}-5\sqrt{2}t+25$；③当t≥$5\sqrt{2}$时，s=0．

解答 （1）证明：∵∠BPQ=45°，PQ=PB，
∴∠PBQ=∠PQB=67.5°，
∵∠MAN=45°，
∴∠APB=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠APB=∠PBQ，
∴△ABP为等腰三角形；
（2）解：PD的长度不变化，
过点B作BH⊥AC于点H，如图1所示：
∵DQ⊥AP，
∴∠PDQ=∠PHB=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠HBA=45°，
∴∠DPQ=∠PQB-∠MAN=∠PBQ-∠HBA=∠PBH，
在△PDQ和△PBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPQ=∠PBH}\\{∠PDQ=∠BHP=90°}\\{PQ=PB}\end{array}\right.$，
∴△PDQ≌△PBH（AAS），
∴PD=BH=$\frac{1}{2}$AC=5；
（3）解：当点P运动到AC的中点时，
则点Q与点A重合，∠QPB=90°，∠PQB=∠PBQ=45°，QP=PB=$\frac{1}{2}$AC=5，AB=5$\sqrt{2}$，
将△PBQ向右平移，点P落到BC上时，平移了$\frac{5\sqrt{2}}{2}$个单位，
点Q与点B重合时，平移了5$\sqrt{2}$个单位，分三种情况讨论，
①当0＜t＜$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$时，如图2所示：
S=S_△PQE-S_△BEF=$\frac{25}{2}-\frac{1}{2}{t^2}$；
②当$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$≤t＜$5\sqrt{2}$时，如图3所示：
$S=\frac{1}{2}B{Q^2}=\frac{1}{2}×{（{5\sqrt{2}-t}）^2}$=${t^2}-5\sqrt{2}t+25$；
③当t≥$5\sqrt{2}$时，△PQE移出了△ABC，s=0．
综上所述：△ABC和△PQE的重叠部分的面积为$\frac{25}{2}-\frac{1}{2}{t^2}$（0＜t＜$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$），或${t^2}-5\sqrt{2}t+25$（$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$≤t＜$5\sqrt{2}$），或0（t≥$5\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平移的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，难度较大．