Question

4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E为对角线AC上一动点（不与点A、C重合），过点E作直线MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，将矩形ADNM沿MN折叠，使得点A、D的对应点P、Q分别落在AB、CD所在的直线上，若△ACP为等腰三角形，则BM的长为$\frac{39}{16}$或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 分两种情形①当PA=PC时，设PA=PC=x，在Rt△PBC中，构建PC²=BP²+BC²，可得x²=3²+（4-x）²，求出x即可解决问题．②当AP=AC时，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，可得AP=5，PM=AM=$\frac{5}{2}$，由此即可求出BM．

解答 解：①当PA=PC时，设PA=PC=x，
在Rt△PBC中，∵PC²=BP²+BC²，
∴x²=3²+（4-x）²，
∴x=$\frac{25}{8}$，
∴PM=AM=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{25}{16}$，
∴BM=AB-AM=4-$\frac{25}{16}$=$\frac{39}{16}$
②当AP=AC时，
∵AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AP=5，
∴PM=AM=$\frac{5}{2}$，
∴BM=AB=AM=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
故答案为$\frac{39}{16}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．