Question

20．已知二次函数y=x²-2x+c（c为常数）．
（1）若该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点，求c的取值范围；
（2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为D，若存在点P（m，0）（m＞3）使得△CDP与△BDP面积相等，求m的值．

Answer 1

分析 （1）该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点，得出c≠0，且二次函数与x轴有两个交点，利用b²-4ac＞0，进一步得出答案即可；
（2）代入点A求得函数解析式，进一步利用等底等高三角形的面积相等，得出C、B的直线的函数关系式，D、P的直线的函数关系式，由此得出答案即可．

解答 解：（1）由题意可得，该二次函数与x轴有两个不同的交点，
也就是当y=0时，方程x²-2x+c=0有两个不相等的实数根，
即b²-4ac＞0，所以4-4c＞0，c＜1．
又因为该二次函数与两个坐标轴有三个不同的交点，所以c≠0．
综上，若该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点，c的取值范围为c＜1且c≠0．
（2）因为点A（-1，0）在该二次函数图象上，可得0=（-1）²-2×（-1）+c，c=-3．
所以该二次函数的关系式为y=x²-2x-3，可得C（0，-3）．
由x=-$\frac{b}{2a}$=1，可得B（3，0），D（1，-4）．
若点P（m，0）（m＞3）使得△CDP与△BDP面积相等，
可得点C、B到DP的距离相等，此时，CB∥DP．
设过点C、B的直线的函数关系式为y=kx+b，即$\left\{\begin{array}{l}0=3k+b\\-3=0k+b\end{array}$解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-3\end{array}$
设过点D、P的直线的函数关系式为y=x+n，即-4=1+n，解得n=-5．
即y=x-5，当y=0时，x=5，即m=5．

点评 此题考查二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，两条平行的直线之间的关系，三角形面积，分类思想的运用，综合性较强．