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    6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M（2，-1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）．

    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；
    （3）点E为线段BC上的动点（点E不与点C，B重合），以E为顶点作∠OEF=45°，射线EF交线段OC于点F，当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
    （4）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2+PB2+PC2=35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．

    分析 （1）利用顶点式，将已知的两点坐标代入其中进行求解即可；
    （2）由C、B两点的坐标不难判断出OB=OC，即∠CBO=45°，那么若取BN⊥x轴交CD于N，结合“直线CD和直线CA关于直线CB对称”可得出A、N关于直线BC对称，结合点B的坐标以及AB的长即可得到点N的坐标，在明确C、N两点坐标的情况下，直线CD的解析式即可由待定系数法求得；
    （4）先设出点P的坐标，而M、B、C三点坐标已知，即可得到PM2、PB2、PC2的表达式，结合题干的已知条件即可求出点P的坐标，从而进一步判断出直线OP与抛物线的交点个数．

    解答 解：（1）设抛物线的解析式为线Y=a（x-2）2-1．
    ∵点B（3，0）在抛物线上，∴0=a（3-2）2-1，
    解得：a=1．
    则该抛物线的解析式为：y=（x-2）2-1，即y=x2-4x+3；

    （2）在y=x2-4x+3中令x=0，得y=3．
    故C（0，3）．
    则OB=OC=3．
    则∠ABC=45°．
    过点B作BN⊥x轴交CD于点N（如图1），则∠ABC=∠NBC=45°．
    ∵直线CD和直线CA关于直线BC对称，
    ∴∠ACB=∠NCB，
    在△ACB和△NCB中
    $\left\{\begin{array}{l}{∠NCB=∠ACB}\\{CB=CB}\\{∠NBC=∠ABC}\end{array}\right.$，
    ∴△ACB≌△NCB（ASA）．
    ∴BN=BA．
    ∵A，B关于抛物线的对称轴x=2对称，B（3，0），
    ∴A（1，0）．∴BN=BA=2．∴N（3，2）．
    设直线CD的解析式为：y=kx+3，
    则2=3k+3，
    解得：k=-$\frac{1}{3}$，
    则直线CD的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+3；

    （3）当EF=OF时，E（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
    当OE=EF时，证明△OBE≌△ECF，E（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{6-3\sqrt{2}}{2}$）；

    （4）设P（2，p），∵M（2，-1），B（3，0），C（0，3），
    ∴根据勾股定理，得PM2=（p+1）2=p2+2p+1，PB2=（3-2）2+p2=p2+1，
    PC2=22+（p-3）2=p2-6p+13，
    ∵PM2+PB2+PC2=35，
    ∴p2+2p+1+p2-6p+13=35，
    整理，得3p2-4p-20=0，
    解得：p1=-2，p2=$\frac{10}{3}$．
    ∴P（2，-2）或（2，$\frac{10}{3}$）．
    当P（2，$\frac{10}{3}$）时，直线OP：y=$\frac{5}{3}$x，联立抛物线的解析式有：$\frac{5}{3}$x=x2-4x+3，
    解得△＞0，与该抛物线有2个交点；
    当P（2，-2）时，直线OP：y=-x，联立抛物线的解析式有：
    x2-4x+3=-x，即 x2-3x+3=0
    △=（-3）2-4×3＜0，
    故该直线与抛物线没有交点；
    综上，当P（2，$\frac{10}{3}$）时，直线OP与抛物线有两个交点；当P（2，-2）时，直线OP与抛物线没有交点．

    点评 这道二次函数综合题考查的内容较为常见，主要涉及到：函数解析式的确定、轴对称图形的性质、坐标系两点间的距离公式以及函数图形交点坐标的求法等知识，着重基础内容的考查．

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