Question

16．如图，⊙O的直径FD⊥弦AB于点H，E是$\widehat{BF}$上一动点，连结FE并延长交AB的延长线于点C，AB=8，HD=2．
（1）求⊙O的直径FD；
（2）在E点运动的过程中，EF•CF的值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由；
（3）当E点运动到$\widehat{DBF}$的中点时，连接AE交DF于点G，求△FEA的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OA，由垂径定理得到AH=$\frac{1}{2}$AB=4，设OA=x，在Rt△OAH中，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）根据垂径定理得到$\widehat{AF}=\widehat{BF}$，根据圆周角定理得到∠BAF=∠AEF，推出△FAE∽△FCA，根据相似三角形的性质得到$\frac{AF}{CF}=\frac{EF}{AF}$，推出AF²=EF•CF，代入数据即可得到结论；
（3）连接OE，由E点是$\widehat{DBF}$的中点，得到∠FAE=45°，∠EOF=90°，于是得到∠EOH=∠AHG，推出△OGE∽△HGA，根据相似三角形的性质得到$\frac{OE}{AH}=\frac{OG}{HG}$，求得OG=$\frac{5}{3}$，得到FG=OF+OG=$\frac{20}{3}$，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）连接OA，
∵直径FD⊥弦AB于点H，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=4，
设OA=x，
在Rt△OAH中，AO²=AH²+（x-2）²，
即x²=4²+（x-2）²，
∴x=5，
∴DF=2OA=10；

（2）是，
∵直径FD⊥弦AB于点H，
∴$\widehat{AF}=\widehat{BF}$，
∴∠BAF=∠AEF，
∵∠AFE=∠CFA，
∴△FAE∽△FCA，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{EF}{AF}$，
∴AF²=EF•CF，
在Rt△AFH中，
AF²=AH²+FH²=4⁴+8²=80，
∴EF•CF=80；

（3）连接OE，
∵E点是$\widehat{DBF}$的中点，
∴∠FAE=45°，∠EOF=90°，
∴∠EOH=∠AHG，
∵∠OGE=∠HGA，
∴△OGE∽△HGA，
∴$\frac{OE}{AH}=\frac{OG}{HG}$，
即$\frac{5}{4}$=$\frac{OG}{3-OG}$，
∴OG=$\frac{5}{3}$，
∴FG=OF+OG=$\frac{20}{3}$，
∴S_△FEA=S_△EFG+S_△AFG=$\frac{1}{2}$FG•OE+$\frac{1}{2}$FG•AH=$\frac{1}{2}×\frac{20}{3}$×（4+5）=30．

点评 本题考查了垂径定理，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．