Question

5．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．
（1）当b=3时，
①求直线AB的解析式；
②若QO=QA，求P点的坐标．
（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①由题意确定出B坐标，设直线AB解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可求出AB解析式；②由AQ=QO以及OA的长，确定出Q横坐标，根据P与Q关于y轴对称，得出P横坐标，代入直线AB解析式求出纵坐标，即可确定出P坐标；
（2）同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形，分两种情况考虑：①若∠QAC=90°；②若∠AQC=90°，分别求出a与b的值即可．

解答 解：（1）①由A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A与B坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，b=3，
则直线AB解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3；
②∵QA=QO，OA=4，
∴x_Q=2，
∵点P关于y轴的对称点为Q，
∴x_P=-2，
代入直线AP解析式得-$\frac{3}{4}$×（-2）+3=$\frac{9}{2}$，
则P坐标得P（-2，$\frac{9}{2}$）；
（2）①若∠QAC=90°，如图1所示，

∴x_Q=4，
∴a=x_P=-4，
∴AC=AQ=8，即P（-4，8），
∴直线AP解析式为y=-x+4，
∴a=-4，b=4；
②若∠AQC=90°，如图2所示，

则AC=4-a=2CH=-4a，
∴a=-$\frac{4}{3}$，
∴x_P=-$\frac{4}{3}$，y_P=y_q=$\frac{8}{3}$，即P（-$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$），
∴直线AP解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴a=-$\frac{4}{3}$，b=2，
③P、Q重合于（0，4）时，△QCA也是等腰直角三角形，此时a=0，b=4
综上所示，a=-4，b=4或a=-$\frac{4}{3}$，b=2或a=0，b=4．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．