我们把“有两条边和其中一边的对角线对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”,如图1,在△ABC和△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,则△ABC和△ABD是“同族三角形”.
(1)如图2,四边形ABCD内接于圆,点C是弧BD的中点,求证:△ABC和△ACD是同族三角形;
(2)如图3,△ABC内接于⊙O,⊙O的半径为3,AB=6,∠BAC=30°,求AC的长;
(3)如图3,在(2)的条件下,若点D在⊙O上,△ADC与△ABC是非全等的同族三角形,AD>CD,求的值.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)由点C是弧BD的中点,根据弧与弦的关系,易得BC=CD,∠BAC=∠DAC,又由公共边AC,可证得:△ABC和△ACD是同族三角形;
(2)首先连接OA,OB,作点B作BE⊥AC于点E,易得△AOB是等腰直角三角形,继而求得答案;
(3)分别从当CD=CB时与当CD=AB时去分析求解即可求得答案.
【解答】(1)证明:∵点C是弧BD的中点,即=,
∴BC=CD,∠BAC=∠DAC,
∵AC=AC,
∴△ABC和△ACD是同族三角形;
(2)解:如图1,连接OA,OB,作点B作BE⊥AC于点E,
∵OA=OB=3,AB=6,
∴OA2+OB2=AB2,
∴△AOB是等腰直角三角形,且∠AOB=90°,
∴∠C=∠AOB=45°,
∵∠BAC=30°,
∴BE=AB=3,
∴AE==3,
∵CE=BE=3,
∴AC=AE+CE=3+3;
(3)解:∵∠B=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣30°﹣45°=105°,
∴∠ADC=180°﹣∠B=75°,
如图2,当CD=CB时,∠DAC=∠BAC=30°,
∴∠ACD=75°,
∴AD=AC=3+3,CD=BC=BE=3,
∴==;
如图3,当CD=AB时,过点D作DF⊥AC,交AC于点F,
则∠DAC=∠ACB=45°,
∴∠ACD=180°﹣∠DAC﹣∠ADC=60°,
∴DF=CD•sin60°=6×=3,
∴AD=DF=3,
∴==.
综上所述: =或.
【点评】此题属于圆的综合题.考查了圆周角定理、弧与弦的关系、圆的内接四边形的性质以及三角函数等知识.注意准确作出辅助线是解此题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:
英语王老师为了了解某校八年级学生英语听力情况,从各板随机抽取一部分学生组成一组进行英语听力测试,王老师将该组测试的乘积分甲,乙,丙,丁四个等级进行统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图:
(1)求丙等级所对扇形的圆心角,并将条形统计图补充完整;
(2)该组达到甲等级的同学只有1位男同学,王老师打算从该组达到甲等级的同学中随机选出2位同学到全年级大会上介绍经验,请用列表法或画树状图的方法,求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率;
(3)请你估计该校八年级学生工360人中,属于丙等级的学生为多少人?
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科目:初中数学 来源: 题型:
人类的血型一般可分为A,B,AB,O型四种,宁波市中心血战2015年共有8万人无偿献血,血战统计人员由电脑随机选出20人,血型分别是:
O,A,O,B,O,A,A,AB,A,O,O,B,AB,B,O,A,O,B,O,A.
(1)请设计统计表分类统计这20人各类血型人数;
(2)若每位献血者平均献血200毫升,一年中宁波市各医院O型血用血量约为6×106毫米,请你估计2015年这8万人所献的O型血是否够用?
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科目:初中数学 来源: 题型:
____________________________________________________________________________________________________________________________函数的自变量取值范围是( ).
A. B. C. D.
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科目:初中数学 来源:2016届上海市奉贤区九年级上学期期末调研考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知:如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点D是斜边AB上任意一点,联结DC,过点C 作CE⊥CD,垂足为点C ,联结DE ,使得∠EDC=∠A,联结BE .
(1)求证: AC ·BE =BC · AD;
(2)设 AD=x,四边形BDCE的面积为S ,求S 与x之间的函数关系式及x的取值范围;
(3)当时,求tan∠BCE 的值.
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科目:初中数学 来源:2015-2016学年江苏省八年级上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,一块四边形草地ABCD,其中∠B=90°,AB=4m,BC=3m , AD=12m, CD =13cm,求这块草地的面积.
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