Question

20．如图，一次函数y=k₁x-1的图象经过A（0，-1）、B（1，0）两点，与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为1．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）x轴上是否存在点Q，使△QBM∽△OAM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知点B坐标代入一次函数解析式得出答案，再利用△OBM的面积得出M点纵坐标，再利用相似三角形的判定与性质得出M点坐标即可得出反比例函数解析式；
（2）过点M作PM⊥AM，垂足为M，得出△AOB∽△PMB，进而得出BP的长即可得出答案；
（3）利用△QBM∽△OAM，得出$\frac{QB}{AO}$=$\frac{BM}{AM}$，进而得出OQ的长，即可得出答案．

解答 解：（1）如图1，过点M作MN⊥x轴于点N，
∵一次函数y=k₁x-1的图象经过A（0，-1）、B（1，0）两点，
∴0=k₁-1，AO=BO=1，
解得：k₁=1，
故一次函数解析式为：y=x-1，
∵△OBM的面积为1，BO=1，
∴M点纵坐标为：2，
∵∠OAB=∠MNB，∠OBA=∠NBM，
∴△AOB∽△MNB，
∴$\frac{AO}{MN}$=$\frac{OB}{BN}$=$\frac{1}{2}$，
则BN=2，
故M（3，2），
则xy=k₂=6，
故反比例函数解析式为：y=$\frac{6}{x}$；

（2）如图2，过点M作PM⊥AM，垂足为M，
∵∠AOB=∠PMB，∠OBA=∠MBP，
∴△AOB∽△PMB，
∴$\frac{AB}{BP}$=$\frac{BO}{BM}$，
由（1）得：AB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BM=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故$\frac{\sqrt{2}}{BP}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，
解得：BP=4，
故P（5，0）；

（3）如图3，∵△QBM∽△OAM，
∴$\frac{QB}{AO}$=$\frac{BM}{AM}$，
由（2）可得AM=3$\sqrt{2}$，
故$\frac{QB}{1}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
解得：QB=$\frac{2}{3}$，
则OQ=$\frac{5}{3}$，
故Q点坐标为：（$\frac{5}{3}$，0）．

点评 本题考查了反比例函数综合以及待定系数法求函数解析式、三角形相似的判定与性质等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质得出P点坐标是解题关键．