如图1.AB∥CD.在AB.CD内有一条折线EPF．(1)求证:∠AEP+∠CFP=∠EPF．(2)如图2.已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q.试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．(3)如图3.已知∠BEQ=$\frac{1}{3}$∠BEP.∠DFQ=$\frac{1}{3}$∠DFP.则∠P与∠Q有什么关系.说明理由．(4)已知∠BEQ=$\frac{1}{n}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．
（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．
（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．
（3）如图3，已知∠BEQ=$\frac{1}{3}$∠BEP，∠DFQ=$\frac{1}{3}$∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．
（4）已知∠BEQ=$\frac{1}{n}$∠BEP，∠DFQ=$\frac{1}{n}$∠DFP，有∠P与∠Q的关系为∠P+n∠Q=360°．（直接写结论）

分析（1）首先过点P作PG∥AB，然后根据AB∥CD，PG∥CD，可得∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP=∠EPF即可．
（2）首先由（1），可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，推得∠EQF=$\frac{1}{2}×（360°-∠EPF）$，即可判断出∠EPF+2∠EQF=360°．
（3）首先由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ=$\frac{1}{3}$∠BEP，∠DFQ=$\frac{1}{3}$∠DFP，推得∠Q=$\frac{1}{3}$×（360°-∠P），即可判断出∠P+3∠Q=360°．
（4）首先由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ=$\frac{1}{n}$∠BEP，∠DFQ=$\frac{1}{n}$∠DFP，推得∠Q=$\frac{1}{n}$×（360°-∠P），即可判断出∠P+n∠Q=360°．

解答（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB，，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，
又∵∠1+∠2=∠EPF，
∴∠AEP+∠CFP=∠EPF．

（2）如图2，，
由（1），可得
∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，
∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=$\frac{1}{2}$（∠BEP+∠DFP）=$\frac{1}{2}[360°-（∠AEP+∠CFP）]$=$\frac{1}{2}×（360°-∠EPF）$，
∴∠EPF+2∠EQF=360°．

（3）如图3，，
由（1），可得
∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEQ=$\frac{1}{3}$∠BEP，∠DFQ=$\frac{1}{3}$∠DFP，
∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=$\frac{1}{3}$（∠BEP+∠DFP）=$\frac{1}{3}$[360°-（∠AEP+∠CFP）]=$\frac{1}{3}$×（360°-∠P），
∴∠P+3∠Q=360°．

（4）由（1），可得
∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEQ=$\frac{1}{n}$∠BEP，∠DFQ=$\frac{1}{n}$∠DFP，
∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=$\frac{1}{n}$（∠BEP+∠DFP）=$\frac{1}{n}$[360°-（∠AEP+∠CFP）]=$\frac{1}{n}$×（360°-∠P），
∴∠P+n∠Q=360°．
故答案为：∠P+n∠Q=360°．

点评此题主要考查了平行线的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．

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