Question

10．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=4+$\sqrt{3}$，BC=2$\sqrt{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC-∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；
（2）过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=2$\sqrt{3}$，于是得到BE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，CE=3，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=5，于是得到AP=AC=5．解直角三角形即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；

（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．
在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=2$\sqrt{3}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，CE=3，
∵AB=4+$\sqrt{3}$，
∴AE=AB-BE=4，
∴在Rt△ACE中，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
∴AP=AC=5．
∴在Rt△PAO中，OA=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴⊙O的半径为$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30°直角三角形的性质．