Question

7．如图，已知弧BC的半径为3，圆心角为120°，圆心为点A．D为弧BC上一动点，以D为旋转中心，将点B顺时针旋转120°得到点E．若点D从B运动到点C，则点E的运动路径长为（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$π
• B． 2$\sqrt{3}$π
• C． 12
• D． 9

Answer 1

分析 连接BC、EC、AD、CD．首先证明△CDB≌△CDE，推出CE=BC，在△ABC中，因为AB=AC=3，∠BAC=120°，推出BC=2•AB•cos30°=3$\sqrt{3}$，推出EC=3$\sqrt{3}$，所以点E的运动轨迹是以C为圆心CE为半径的弧，由此求出圆心角即可解决问题．

解答 解：连接BC、EC、AD、CD．

∵∠BDC=∠BDA+∠ADC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAD）+$\frac{1}{2}$（180°-∠ADC）=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠DAC）=180°-60°=120°，
∵∠BDE=120°，
∴∠EDC=360°-∠BDE-∠BDC=120°，
∴∠CDB=∠CDE，
在△CDB和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CD}\\{∠CDB=∠CDE}\\{DB=DE}\end{array}\right.$，
∴△CDB≌△CDE，
∴CE=BC，
在△ABC中，∵AB=AC=3，∠BAC=120°，
∴BC=2•AB•cos30°=3$\sqrt{3}$，
∴EC=3$\sqrt{3}$，
∴点E的运动轨迹是以C为圆心CE为半径的弧，
∵当点D与点C重合时，∠DCE=120°，
∴$\widehat{BE}$圆心角=120°，
∴点E的运动路径长=$\frac{120π•3\sqrt{3}}{180}$=2$\sqrt{3}$π，
故选B．

点评 本题考查轨迹，圆心角、弧、弦直径的关系，弧长公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹，所以中考常考题型．