Question

6．如图抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求△ACD的面积；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据勾股定理，可得AC，CD，AD的长，根据勾股定理的逆定理，可得答案；
（3）分类讨论：①平行四边形AQBP，根据平行四边形的对角线互相平分，可得答案；
②?ABQP，根据平行四边形的对边相等，可得P点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
③?ABPQ，根据平行四边形的对边相等，可得P点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=3，即C（0，3）
将A、C、B点坐标代入、及对称轴，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式y=-x²-2x+3；
（2）∵y=-x²-2x+3=-（x-1）²+4，得顶点坐标是（-1，4），
由勾股定理，得
AC²=3²+（0-3）²=18，
CD²=（0+1）²+（3-4）²=2，
AD²=（-1+3）²+（（4-0）²=20，
AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，
S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•CD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{18}$×$\sqrt{2}$=3；
（3）①如图1，
平行四边形AQBP，由对角线互相平分，得P₁（-1，4），Q（-1，-4）；
②如图2，
?ABQP，PQ=AB=4，-1-4=-5，
当x=-5时，y=-25+10+3=-12，即P₂（-5，-12）；
③如图3，
?ABPQ，PQ=AB=4，P点的横坐标为-1+4=3，
当x=3时，y=-9-6+3=-12，即P₃（3，-12），
综上所述：P₁（-1，4），P₂（-5，-12），P₃（3，-12）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用勾股定理、勾股定理的逆定理求三角形的形状；利用平行四边形的性质：对角线互相平分，对边相等是求P点的关键．