Question

19．如图所示，在一矩形空地ABCD内建筑一个小的矩形花坛AMPN，要求P在BD上，M、N分别在AB、AD上．已知AB=160米，AD=100米，设AN=x（米）．
（1）设AM=y，求y与x之间的函数表达式；
（2）当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出PN∥AB，PN=AM，由平行线得出△DNP∽△DAB．得出$\frac{DN}{DA}=\frac{NP}{AB}$，即可得出结果．
（2）设花坛AMPN的面积为S，由矩形的面积公式得出S是x的二次函数，把二次函数化成顶点式，即可得出结果．

解答 解：（1）∵四边形AMPN是矩形，
∴PN∥AB，PN=AM，
∴△DNP∽△DAB．
∴$\frac{DN}{DA}=\frac{NP}{AB}$．
∵AB=160，AD=100，AN=x，AM=y，
∴$\frac{100-x}{100}=\frac{y}{160}$．
∴$y=-\frac{8}{5}x+160$．
（2）设花坛AMPN的面积为S，
则$S=xy=x（-\frac{8}{5}x+160）=-\frac{8}{5}{（{x-50}）^2}+4000$．
∵$-\frac{8}{5}＜0$，
∴当x=50时，S有最大值，S_最大值=4000．
即当AM=80m，AN=50m时，花坛AMPN的最大面积为4000m²．

点评 本题考查了相似三角形的应用、矩形的性质、二次函数的应用；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．