Question

8．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，tan∠B=$\frac{4}{3}$
（1）求BC的长；
（2）点D、E分别是边AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM，交于点O，设MN=x，四边形ADOE的面积为y．
①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
②当△OMN是等腰三角形且BM=1时，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于D，如图1，根据等腰三角形的性质得BH=CH，在Rt△ABH中利用正切的定义的tan∠B=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{4}{3}$，设AH=4a，BH=3a，由勾股定理得到AB=5a，则5a=10，解得a=2，所以BC=2BH=12；
（2）①连结DE，过点O作OK⊥BC于K，交DE于J，如图2，利用三角形中位线性质得到DE∥MN，DE=$\frac{1}{2}$BC=6，JK=$\frac{1}{2}$AH=4，则△DOE∽△NOM，根据相似比得OJ=$\frac{24}{x+6}$，然后利用三角形面积公式和y=S_△ADE+S_△DOE得y=$\frac{12x+144}{x+6}$（0＜x＜12）；
②作EF⊥BC于F，如图2，由于EF=JK=4，CE=$\frac{1}{2}$AC=5，则CF=3，MF=8，分类讨论：当OM=ON时，根据等腰三角形性质得MK=MN=$\frac{1}{2}$x，证明△MOK∽△MEF，利用相似比得到OK=$\frac{1}{4}$x，然后利用△DOE∽△NOM得到$\frac{6}{x}$=$\frac{4-\frac{1}{4}x}{\frac{1}{4}x}$，解得x=10；当OM=MN=x，利用相似比可证得DE=EO=6，接着在Rt△MEF中利用勾股定理计算出ME=4$\sqrt{5}$，则x+6=4$\sqrt{5}$，所以x=4$\sqrt{5}$-6；当MN=ON=x时，同理得DO=DE=6，则DN=6+x，作DG⊥BC于G，如图2，易得DG=4，BG=3，GN=BM+MN-BG=x-2，然后在Rt△DNG中利用勾股定理得到∴4²+（x-2）²=（x+6）²，解得x=-1（舍去），于是得到MN的长为10或4$\sqrt{5}$-6．

解答 解：（1）作AH⊥BC于D，如图1，
∵AB=AC=10
∴BH=CH，
在Rt△ABH中，tan∠B=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{4}{3}$，
设AH=4a，BH=3a，
∴AB=$\sqrt{A{H}^{2}+B{H}^{2}}$=5a，
∴5a=10，解得a=2，
∴BC=2BH=12；
（2）①连结DE，过点O作OK⊥BC于K，交DE于J，如图2，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥MN，DE=$\frac{1}{2}$BC=6，JK=$\frac{1}{2}$AH=4，
∴△DOE∽△NOM，
∴$\frac{DE}{MN}$=$\frac{OJ}{OK}$，即$\frac{6}{x}$=$\frac{OJ}{4-OJ}$，
∴OJ=$\frac{24}{x+6}$，
∴y=S_△ADE+S_△DOE
=$\frac{1}{2}$×6×4+$\frac{1}{2}$×6×$\frac{24}{x+6}$
=$\frac{12x+144}{x+6}$（0＜x＜12）；
②作EF⊥BC于F，如图2，
∵EF=JK=4，CE=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴CF=$\sqrt{E{C}^{2}-E{F}^{2}}$=3，
∴BF=9，
而BM=1，
∴MF=8，
当OM=ON时，∵OK⊥MN，
∴MK=MN=$\frac{1}{2}$x，
∵OK∥EF，
∴△MOK∽△MEF，
∴$\frac{MK}{MF}$=$\frac{OK}{EF}$，即$\frac{\frac{1}{2}x}{8}$=$\frac{OK}{4}$，解得OK=$\frac{1}{4}$x，
∴△DOE∽△NOM，
∴$\frac{DE}{MN}$=$\frac{OJ}{OK}$，即$\frac{6}{x}$=$\frac{4-\frac{1}{4}x}{\frac{1}{4}x}$，解得x=10，
即MN=10；
当OM=MN=x，
∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{MN}$=$\frac{EO}{MO}$，
∴DE=EO=6，
在Rt△MEF中，∵EF=4，MF=8，
∴ME=$\sqrt{E{F}^{2}+M{F}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
而ME=OM+OE，
∴x+6=4$\sqrt{5}$，解得x=4$\sqrt{5}$-6，
即MN的长为4$\sqrt{5}$-6；
当MN=ON=x时，同理得DO=DE=6，
∴DN=6+x，
作DG⊥BC于G，如图2，易得DG=4，BG=3，
∴GN=BM+MN-BG=x+1-3=x-2，
在Rt△DNG中，∵DG²+GN²=DN²，
∴4²+（x-2）²=（x+6）²，解得x=-1（舍去），
综上所述，MN的长为10或4$\sqrt{5}$-6．

点评 本题考查了相似形的综合题：熟练掌握相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；合理添加辅助线构造相似图形，然后利用相似的性质计算相应线段的长；同时会利用勾股定理和三角形中位线定理；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．