Question

【题目】设二次函数，一次函数，若方程的两根是，．

（1）求b、c的值；

（2）当x满足时，比较与x的大小并说明理由；

（3）设点M的坐标是，点P是抛物线上的一个动点，当点P到点M的距离与到直线的距离之和最小时，请直接写出点P坐标．

Answer 1

【答案】（1）b=0，c=；（2）y1＜x，理由见解析；（3）（2，2）

【解析】

（1）先把点（1，1），（2，2）的坐标分别代入抛物线解析式得到b，c的方程组，解方程组求出b，c的值即可；

（2）由于y1-x=，由1＜x＜2可得y1-x＜0，从而求解；

（3）先根据勾股定理及其逆定理证明△OP2M是直角三角形，然后可证P在直线与抛物线两交点之间的P2处时，点P到点M的距离与到直线的距离之和最小．

解：（1）∵方程的两根是，，

∴两交点坐标为（1，1），（2，2），

∴，

解得b=0，c=；

（2）y1-x=，

当1＜x＜2时，y1-x＜0，

所以y1＜x；

（3）由题知，抛物线与直线的两个交点坐标为P1（1，1）、P2（2，2），

∵OM=4，OP2=， MP2=，

∴OP22+MP22=OM2，

∴△OP2M是直角三角形，

∴∠OP2M=90°，

∴MP2⊥直线y2=x，

∴MP2到直线y2=x的距离最短，

又∵P到y2=x的距离是0，

∴当P点坐标是（2，2）时，P到M的距离与到直线y2=x距离之和最小，

即所求P点坐标是（2，2）．