南粤学典学考精练九年级数学人教版
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1. 一元二次方程的根与系数的关系：若一元二次方程$ax^{2}+bx + c=0$（$a≠0$）有两个实数根$x_{1}$和$x_{2}$，那么$x_{1}+x_{2}=$
$-\frac{b}{a}$
，$x_{1}x_{2}=$
$\frac{c}{a}$
.
答案：$-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$
2. 若一元二次方程$x^{2}+px + q=0$的两个根是$x_{1}$和$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=$
$-p$
，$x_{1}x_{2}=$
$q$
.
答案：$-p$；$q$
1. 若方程$3x^{2}-6x - 9=0$的两个根分别是$x_{1}$，$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=$
2
，$x_{1}x_{2}=$
-3
.
答案：2；-3
解析：$x_{1}+x_{2}=-\frac{-6}{3}=2$，$x_{1}x_{2}=\frac{-9}{3}=-3$。
2. 已知方程$x^{2}+ax + b=0$的两个根分别是2与3，则$a=$
-5
，$b=$
6
.
答案：-5；6
解析：$a=-(2 + 3)=-5$，$b=2×3=6$。
3. 已知$a$，$b$是一元二次方程$x^{2}-5x - 2=0$的两个根，那么$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值为（
D
）
A. $\frac{2}{5}$
B. $\frac{5}{2}$
C. $-\frac{2}{5}$
D. $-\frac{5}{2}$
答案：D
解析：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a + b}{ab}$，$a + b=5$，$ab=-2$，则$\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$，故选D。
4. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程$2x^{2}-8x + 7=0$的两个根，则这个直角三角形的斜边长是
3
.
答案：3
解析：设两根为$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=\frac{7}{2}$，斜边长$\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}=\sqrt{16 - 7}=3$。
5. 已知一元二次方程的两根之和为6，两根之积为8，则这个方程为
$x^{2}-6x + 8=0$（答案不唯一）
.
答案：$x^{2}-6x + 8=0$（答案不唯一）
解析：方程可为$x^{2}-(6)x + 8=0$。
6. 设$x_{1}$和$x_{2}$是方程$2x^{2}+4x - 3=0$的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：
（1）$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；
（2）$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$；
（3）$(x_{1}-x_{2})^{2}$.
答案：（1）7
解析：$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=-\frac{3}{2}$，$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=4 + 3=7$。
（2）$\frac{4}{3}$
解析：$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-2}{-\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$。
（3）10
解析：$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=4 + 6=10$。
7. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(k - 1)x+\frac{1}{4}k^{2}+1=0$有两个实数根.
（1）求$k$的取值范围；
（2）若方程的两个根$m$，$n$满足$(m - 1)(n - 1)=11$，则$k$的值为多少？
答案：（1）$k\leq-\frac{3}{2}$
解析：$\Delta=(k - 1)^{2}-4×1×(\frac{1}{4}k^{2}+1)\geq0$，化简得$-2k - 3\geq0$，解得$k\leq-\frac{3}{2}$。
（2）$k=-4$
解析：$(m - 1)(n - 1)=mn-(m + n)+1=11$，$mn=\frac{1}{4}k^{2}+1$，$m + n=k - 1$，代入得$\frac{1}{4}k^{2}+1-(k - 1)+1=11$，解得$k=-4$（$k=6$舍去，因为$k\leq-\frac{3}{2}$）。
