学习指要九年级数学人教版
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用配方法解一元二次方程的步骤:一移,移项;二化,将二次项系数化为
1
；三配,在方程的两边同时加上
一次项系数一半的平方
,将原方程化为$(x+m)^{2}=n$的形式;四开平方,注意n的取值($n\geq0$)；五求解,运用直接开平方法求解.
答案：1；一次项系数一半的平方
思考 用配方法将方程化为$(x+m)^{2}=n$的形式,从而直接开平方法求解方程,体现了
转化
的数学思想，达到了
将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解
的目的？
答案：体现了转化的数学思想，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解。
练习 (1)$x^{2}-8x+$
16
$=(x-4)^{2}$;
答案：16；解析：$(x-4)^{2}=x^{2}-8x + 16$，故应填16。
(2)方程$x^{2}-6x=7$的解为
$x_{1}=7$，$x_{2}=-1$
.
答案：$x_{1}=7$，$x_{2}=-1$；解析：$x^{2}-6x=7$，配方得$x^{2}-6x + 9=7 + 9$，即$(x - 3)^{2}=16$，开平方得$x - 3=\pm4$，解得$x_{1}=7$，$x_{2}=-1$。
例1 用适当的数或式填空: (1)$x^{2}-$
6x
$+9=(x-3)^{2}$;
答案：6x；解析：$(x - 3)^{2}=x^{2}-6x + 9$，故应填6x。
(2)$2x^{2}-4x+$
2
$=2(x-$______
1
$)^{2}$;
答案：2；1；解析：$2(x - 1)^{2}=2(x^{2}-2x + 1)=2x^{2}-4x + 2$，故依次填2，1。
(3)若$x^{2}+px + 16$是一个完全平方式,则p的值为
$\pm8$
.
答案：$\pm8$；解析：因为$x^{2}+px + 16$是完全平方式，所以$px=\pm2× x×4$，即$p=\pm8$。
变式训练 (1)二次三项式$x^{2}-2x - 3$化为$a(x + h)^{2}+k$的形式是
$(x - 1)^{2}-4$
.
答案：$(x - 1)^{2}-4$；解析：$x^{2}-2x - 3=x^{2}-2x + 1 - 1 - 3=(x - 1)^{2}-4$。
(2)用配方法解方程$2x^{2}+3x - 1=0$,配方正确的是( )
A.$(3x + 1)^{2}=1$
B.$(x+\frac {3}{4})^{2}=\frac {17}{16}$
C.$(x+\frac {3}{4})^{2}=\frac {1}{2}$
D.$(x + 3)^{2}=\frac {1}{3}$
答案：B；解析：$2x^{2}+3x - 1=0$，移项得$2x^{2}+3x=1$，二次项系数化为1得$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{1}{2}$，配方得$x^{2}+\frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^{2}=\frac{1}{2}+(\frac{3}{4})^{2}$，即$(x+\frac{3}{4})^{2}=\frac{17}{16}$。
例2 解方程: (1)$x^{2}-4x - 5=0$;
答案：$x_{1}=5$，$x_{2}=-1$；解析：$x^{2}-4x - 5=0$，移项得$x^{2}-4x=5$，配方得$x^{2}-4x + 4=5 + 4$，即$(x - 2)^{2}=9$，开平方得$x - 2=\pm3$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-1$。
(2)$2x^{2}-1=-5x$.
答案：$x_{1}=\frac{1}{2}$，$x_{2}=-1$；解析：$2x^{2}-1=-5x$，移项得$2x^{2}+5x - 1=0$，二次项系数化为1得$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{1}{2}$，配方得$x^{2}+\frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^{2}=\frac{1}{2}+(\frac{5}{4})^{2}$，即$(x+\frac{5}{4})^{2}=\frac{33}{16}$，开平方得$x+\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{33}}{4}$，解得$x_{1}=\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}$，$x_{2}=\frac{-5 - \sqrt{33}}{4}$
变式训练 解方程: (1)$x^{2}-6x + 1=0$;
答案：$x_{1}=3 + 2\sqrt{2}$，$x_{2}=3 - 2\sqrt{2}$；解析：$x^{2}-6x + 1=0$，移项得$x^{2}-6x=-1$，配方得$x^{2}-6x + 9=-1 + 9$，即$(x - 3)^{2}=8$，开平方得$x - 3=\pm2\sqrt{2}$，解得$x_{1}=3 + 2\sqrt{2}$，$x_{2}=3 - 2\sqrt{2}$。
(2)$x^{2}+4\sqrt{2}x - 1=0$.
答案：$x_{1}=-\sqrt{2} + 3$，$x_{2}=-\sqrt{2}-3$；解析：$x^{2}+4\sqrt{2}x - 1=0$，移项得$x^{2}+4\sqrt{2}x=1$，配方得$x^{2}+4\sqrt{2}x + (2\sqrt{2})^{2}=1 + (2\sqrt{2})^{2}$，即$(x + 2\sqrt{2})^{2}=9$，开平方得$x + 2\sqrt{2}=\pm3$，解得$x_{1}=3 - 2\sqrt{2}$，$x_{2}=-3 - 2\sqrt{2}$
例3 我们知道$x^{2}\geq0$，$(a\pm b)^{2}\geq0$，这一性质在数学中有广泛的应用，比如，探究多项式$2x^{2}+4x - 5$的最小值时，我们可以这样处理：原式$=2(x^{2}+2x)-5=2[(x + 1)^{2}-1^{2}]-5=2(x + 1)^{2}-7$因为$(x + 1)^{2}\geq0$，所以$2(x + 1)^{2}-7\geq0 - 7$，即$2(x + 1)^{2}-7\geq - 7$，所以$2x^{2}+4x - 5$的最小值是$-7$。请根据上面的探究思路，解答下列问题：(1)多项式$5(x - 3)^{2}+1$的最小值是______
1
；
答案：1；解析：因为$(x - 3)^{2}\geq0$，所以$5(x - 3)^{2}\geq0$，则$5(x - 3)^{2}+1\geq1$，最小值为1。
