学习指要九年级数学人教版
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变式训练 （1）若关于x的一元二次方程$x^{2}-2x-4k=0$有两个相等的实数根，则k=
$-\frac{1}{4}$
.
答案：$-\frac{1}{4}$
解析：方程有两个相等实数根，判别式$\Delta =(-2)^{2}-4×1×(-4k)=4 + 16k=0$，解得$k=-\frac{1}{4}$。
（2）（2024 静安三模）若关于x的一元二次方程$ax^{2}+2x+1=0$有实数根，则a的取值范围是（
B
）
A.$a\leq1$
B.$a\leq1$且$a\neq0$
C.a取一切实数
D.$a＜1$
答案：B
解析：方程为一元二次方程，$a\neq0$。判别式$\Delta =2^{2}-4× a×1=4 - 4a\geq0$，解得$a\leq1$。综上，$a\leq1$且$a\neq0$。
1.（2025 石家庄模拟）一元二次方程$x^{2}+2x-5=0$的根的情况是（
A
）
答案：A
解析：判别式$\Delta =2^{2}-4×1×(-5)=4 + 20=24＞0$，方程有两个不相等的实数根。
2.（2024 黑龙江）关于x的一元二次方程$(m - 2)x^{2}+4x + 2=0$有两个实数根，则m的取值范围是（
D
）
A.$m\leq4$
B.$m\geq - 4$且$m\neq2$
C.$m\geq4$
D.$m\leq4$且$m\neq2$
答案：D
解析：方程为一元二次方程，$m - 2\neq0$，即$m\neq2$。判别式$\Delta =4^{2}-4×(m - 2)×2=16 - 8(m - 2)=32 - 8m\geq0$，解得$m\leq4$。综上，$m\leq4$且$m\neq2$。
3.用公式法解关于x的一元二次方程，得$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4×3×1}}{2×3}$，则该一元二次方程是
$3x^{2}+5x + 1=0$
.
答案：$3x^{2}+5x + 1=0$
解析：公式法中$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，对比可得$a = 3$，$b = 5$，$c = 1$，方程为$3x^{2}+5x + 1=0$。
4.若关于x的一元二次方程$(m - 1)x^{2}+4x + 2=0$（m为实数）有两个实数根，则m的取值范围是
$m\leq3$且$m\neq1$
.
答案：$m\leq3$且$m\neq1$
解析：方程为一元二次方程，$m - 1\neq0$，即$m\neq1$。判别式$\Delta =4^{2}-4×(m - 1)×2=16 - 8(m - 1)=24 - 8m\geq0$，解得$m\leq3$。综上，$m\leq3$且$m\neq1$。
5.不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
（1）$3x^{2}-2x - 1=0$；（2）$4x - x^{2}=x^{2}+2$；（3）$3x - 3=2x^{2}$.
答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根
解析：
（1）$\Delta=(-2)^{2}-4\times3\times(-1)=4 + 12=16>0$，有两个不相等的实数根。
（2）整理得$2x^{2}-4x + 2=0$，$\Delta=(-4)^{2}-4\times2\times2=16 - 16=0$，有两个相等的实数根。
（3）整理得$2x^{2}-3x + 3=0$，$\Delta=(-3)^{2}-4×2×3=9 - 24=-15＜0$，没有实数根。
6.用公式法解下列方程：
（1）$x^{2}-3x - 5=0$；（2）$3x^{2}-5x=4$；（3）$2x^{2}-3x=0$；（4）$2x^{2}-5x - 1=0$；（5）$y^{2}+2=2\sqrt{2}y$；（6）$(x + 1)(x - 1)=2\sqrt{2}x$.
答案：（1）$x_{1}=\frac{3+\sqrt{29}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$；（2）$x_{1}=\frac{5+\sqrt{73}}{6}$，$x_{2}=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$；（3）$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{3}{2}$；（4）$x_{1}=\frac{5+\sqrt{33}}{4}$，$x_{2}=\frac{5-\sqrt{33}}{4}$；（5）$y_{1}=y_{2}=\sqrt{2}$；（6）$x_{1}=\sqrt{2}+ \sqrt{3}$，$x_{2}=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
解析：
（1）$a = 1$，$b=-3$，$c=-5$，$\Delta=9 + 20=29$，$x=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}$。
（2）整理得$3x^{2}-5x - 4=0$，$a = 3$，$b=-5$，$c=-4$，$\Delta=25 + 48=73$，$x=\frac{5\pm\sqrt{73}}{6}$。
（3）$a = 2$，$b=-3$，$c = 0$，$\Delta=9 - 0=9$，$x=\frac{3\pm3}{4}$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{3}{2}$。
（4）$a = 2$，$b=-5$，$c=-1$，$\Delta=25 + 8=33$，$x=\frac{5\pm\sqrt{33}}{4}$。
（5）整理得$y^{2}-2\sqrt{2}y + 2=0$，$a = 1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c = 2$，$\Delta=8 - 8=0$，$y=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
（6）整理得$x^{2}-2\sqrt{2}x - 1=0$，$a = 1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-1$，$\Delta=8 + 4=12$，$x=\frac{2\sqrt{2}\pm2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$。
