同步解析与测评学考练高中数学人教版
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1.若$ a,b \in \mathbf{R} $，且$ a^2 + b^2 \neq 0 $，则①$ a,b $全为零；②$ a,b $不全为零；③$ a,b $全不为零；④$ a,b $至少有一个不为零。其中真命题的个数为（
C
）
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：②④为真，①③为假。
2.下列语句不是全称量词命题的是（
C
）
A.任何一个实数乘以零都等于零
B.自然数都是正整数
C.高二(1)班绝大多数同学是团员
D.每一个三角形的内角和都等于$ 180° $
答案：C
解析：“绝大多数”不是全称量词。
3.下列存在量词命题中：①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形，假命题的个数是（
A
）
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：A
解析：①②③均为真命题。
4.若命题“$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ 2x^2 + (2a - 1)x + \frac{1}{2}a^2 ＞ 0 $”是真命题，则实数$ a $的取值范围是
$\left( \frac{1}{4}, +\infty \right)$
。
答案：$ \left( \frac{1}{4}, +\infty \right) $
解析：$ \Delta = (2a - 1)^2 - 4 × 2 × \frac{1}{2}a^2 = -4a + 1 ＜ 0 \Rightarrow a ＞ \frac{1}{4} $。
5.用量词符号“$ \forall $”“$ \exists $”表达下列命题：
(1)
$ \forall x \in \mathbf{Q} $，$ \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{2}x + 1 \in \mathbf{Q} $
；
(2)
$ \exists \alpha,\beta \in \mathbf{R} $，$ \alpha + \beta = \alpha\beta $
；
(3)
$ \exists x,y \in \mathbf{Z} $，$ 3x - 2y = 10 $
；
(4)
$ \forall a,b \in \mathbf{R} $，方程$ ax + b = 0 $恰有一个解
。
答案：解：(1)$ \forall x \in \mathbf{Q} $，$ \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{2}x + 1 \in \mathbf{Q} $。
(2)$ \exists \alpha,\beta \in \mathbf{R} $，$ \alpha + \beta = \alpha\beta $。
(3)$ \exists x,y \in \mathbf{Z} $，$ 3x - 2y = 10 $。
(4)$ \forall a,b \in \mathbf{R} $，方程$ ax + b = 0 $恰有一个解。
6.下列四个命题：
①没有一个无理数不是实数；
②任何一个非空集合的真子集都不包含它本身；
③至少存在一个整数$ x $，使得$ x^2 - x + 1 $是整数；
④对任意的实数$ x $，都有$ x^2 + 2x + 3 ＞ 0 $。
其中是真命题的为（
A
）
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
答案：A
解析：①无理数是实数；②真子集不包含本身；③$ x = 1 $时成立；④$ \Delta = -8 ＜0 $。
7.若“$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ x^2 + 2x + m ＞ 0 $”是真命题，则实数$ m $的取值范围是
$(1, +\infty)$
.
答案：$ (1, +\infty) $
解析：$ \Delta = 4 - 4m ＜ 0 \Rightarrow m ＞ 1 $。
8.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于$ 360° $；
(2)有的字母不能表示一个未知数；
(3)有一个函数是一次函数，且它的图像过原点；
(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。
答案：解：(1)全称量词命题。
(2)存在量词命题。
(3)存在量词命题。
(4)全称量词命题（隐含“所有”）。
9.多选题 有下列四个命题，其中为真命题的是（
ACD
）
A.$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ 2x^2 - 3x + 4 ＞ 0 $
B.$ \forall x \in \{1, -1, 0\} $，$ 2x + 1 ＞ 0 $
C.$ \exists x \in \mathbf{N} $，$ x^2 \leq x $
D.$ \exists x \in \mathbf{N}^* $，使$ x $为$ 29 $的因数
答案：ACD
解析：A.$ \Delta = 9 - 32 ＜0 $；B.$ x = -1 $时$ 2x + 1 = -1 ＜0 $；C.$ x = 0 $或$ 1 $；D.$ x = 1 $或$ 29 $。
