Question

【题目】设函数.

（1）若函数是奇函数，求实数的值；

（2）若对任意的实数，函数（为实常数）的图象与函数的图象总相切于一个定点.

① 求与的值；

② 对上的任意实数，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）①；②．

【解析】试题分析：

(1)由奇函数的 定义得到关于实数a的方程，解方程可得a=0；

(2)由导函数研究函数的 切线可得切点为，切线的方程为，则.

(3)由题意分类讨论 和两种情况可得实数的取值范围是．

试题解析：

解：（1）因为函数是奇函数，所以恒成立，

即，得恒成立，

.

（2）①，设切点为，

则切线的斜率为，

据题意是与无关的常数，故，切点为， 由点斜式得切线的方程为，即，故.

② 当时，对任意的，都有;

当时，对任意的，都有;

故对恒成立，或对恒成立.

而，设函数.

则对恒成立，或对恒成立， ，

当时, ,,恒成立,所以在上递增, ,

故在上恒成立，符合题意. 当时，令，得，令，得,

故在上递减，所以，

而设函数，

则， 恒成立，

在上递增， 恒成立，

在上递增， 恒成立，

即，而，不合题意.

综上，知实数的取值范围.