Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，、分别为、中点，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在；说明见解析

【解析】

（Ⅰ）利用三角形中位线证得，利用线面平行判定定理证得结果；（Ⅱ）取中点，利用面面垂直的性质和正方形的特点可证明出两两互相垂直，从而可以为原点建立空间直角坐标系；由线面垂直关系可得面法向量为；再利用向量法求解出平面法向量，利用向量夹角公式求得余弦值，再求得正弦值；（Ⅲ）令，可表示出，若平面，则与平面法向量共线，由共线定理得到方程，方程无解，可知不存在.

（Ⅰ）连接

四边形为正方形 为中点

又为中点

又平面，平面

平面

（Ⅱ）取中点，连接

平面平面，平面平面，平面

平面

四边形为正方形且

以为原点，所在直线为坐标轴建立如下图所示的空间直角坐标系

则，，，

平面即为平面，平面

即为平面的一个法向量，即

设平面的法向量

又，

，即，令，则，

即二面角的正弦值为：

（Ⅲ）令

，

若平面，则，又

，方程无解

棱上不存在一点，使平面