Question

【题目】已知函数

（1）若，证明：；

（2）若，且，求的取值范围；

（3）若，且方程有个不同的根，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由，可得，将等式两边分别代入解析式即可证明.

（2）根据题意可得函数为增函数，只需在恒成立，分离参数即可求解.

（3）利用导数确定函数的单调区间，作出函数的大致图像，数形结合即可求解.

（1）当时，则，

所以左边，

右边

，即证.

（2）由，，

则函数在上单调递增，

即在上恒成立，

即在上恒成立，只需，

设，由，所以，

所以.

（3）当时，

则，

令，解得或；

令，解得，

所以函数的单调递增区间为，，

函数的单调递减区间为，

且，，

在同一坐标系中作出与的图像如图所示：

方程有个不同的根，由图像可知：