分析 (Ⅰ)由椭圆离心率等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2,列出方程组,求出a,b,c,由此能求出椭圆Γ的方程.
(Ⅱ)设AB方程为y=kx+4(k>0),代入$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$,得(1+2k2)x2+16kx+24=0,由此利用韦达定理、椭圆对称性,结合已知条件能证明AD恒过定点(0,1).
解答 解:(Ⅰ)∵椭圆Γ:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2,
∴由已知$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}={{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}_{\;}}}\\{b=2}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$,(2分)
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2\sqrt{2}}\\{b=2}\end{array}}\right.$,
∴椭圆Γ的方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$(4分)
证明:(Ⅱ)由已知可设AB方程为y=kx+4(k>0),
代入$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$,得(1+2k2)x2+16kx+24=0,(5分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则${x_1}+{x_2}=-\frac{{16{k^{\;}}}}{{1+2{k^2}}},{x_1}{x_2}=\frac{24}{{1+2{k^2}}}$(6分)
由对称性知D(-x2,y2),∴AD方程为$y-{y_1}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}(x-{x_1})$,(8分)
∵y1=kx1+4,y2=kx2+4,
∴AD方程可化为$y=\frac{{k({x_1}-{x_2})}}{{{x_1}+{x_2}}}(x-{x_1})+k{x_1}+4$(9分)
=$\frac{{k({x_1}-{x_2})}}{{{x_1}+{x_2}}}x-\frac{{k({x_1}-{x_2})}}{{{x_1}+{x_2}}}{x_1}+k{x_1}+4$
=$\frac{{k({x_1}-{x_2})}}{{{x_1}+{x_2}}}x+k{x_1}\frac{{2{x_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}+4=\frac{{k({x_1}-{x_2})}}{{{x_1}+{x_2}}}x+2k×\frac{{\frac{24}{{1+2{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^{\;}}}}{{1+2{k^2}}}}}+4$
=$\frac{{k({x_1}-{x_2})}}{{{x_1}+{x_2}}}x+1$(12分)
∴AD恒过定点,定点为(0,1)(13分)
点评 本题考查椭圆方程的求法,考查直线过定点的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆性质、韦达定理、直线方程的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 0 | B. | $\frac{1}{6}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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A. | [-1,$\frac{3}{2}$) | B. | [-1,$\frac{1}{2}$) | C. | [1,$\frac{3}{2}$] | D. | [$\frac{1}{2}$,1) |
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